素數分佈之道（原創彭秋年）
關鍵詞：能量參照法、素數分佈新論。
㈠、建立能量參照法生成素數分佈新論。
首先陳述素數定理：如果以q表示自然數s範圍內的素數數量，則q=s/㏑s。 （s較小時，用㏑s-1。08代替㏑s計算更精確）
當s足夠大時，顯然滿足：
（s/㏑s）/（1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s）→1。
如果集合X是集合N（N=全體自然數）的子集。且令：s範圍內，集合X中大於2的元素依次是x₁，x₂…xₙ；定義s範圍內集合X中元素的能量和為e=1/㏑x₁+1/㏑x₂…+1/㏑xₙ。
則有：s範圍內，集合N中元素的能量和e、素數數量q均接近於s/㏑s，即q=e=s/㏑s。
以集合X={x|x=3a-2，（a∈N）}為例展開論述。
且令：集合X、N中與pᵢ互素的元素的分佈比例分別為yᵢ、zᵢ。 （i∈N，p₀=2，i>0時，pᵢ表示第i個奇素數）
則有：i=1時，y₁=1，z₁=2/3； i≠1時，yᵢ=zᵢ=（pᵢ-1）/pᵢ；集合X、N中與p₀p₁…pᵢ互素的元素的分佈比例分別為y₀y₁…yᵢ、z₀z₁…zᵢ。
且令：rᵢ=（y₀y₁…yᵢ）/（z₀z₁…zᵢ）。
則有：r₀=1；i>0時，rᵢ=1/（2/3）=3/2。
分析整理：s範圍內集合X中的元素相對於集合N中的元素成為素數的能力強度其參照值是r=3/2；簡述為集合X存在參照常數r=3/2。
且令：s範圍內集合X中元素的能量和為e。
則有：e=s/（3㏑s）。
分析整理：s範圍內集合X中的素數數量q等於e、r的乘積，即q=er=s/（2㏑s）。
綜上所述，以此類推：
且令：X={x|x=pa-y，（a∈N）}。 （p為素數；y=1，2…p-1）
則有：p、y確定時，s範圍內集合X中素數數量分佈的計算公式是q=er=s/［（p-1）㏑s］。
且令：P={全體奇素數}；P₀=P∩X。
則有：s範圍內集合P₀、P中元素數量分佈之比為1/（p-1）。
定義：使用能量和e與參照值r的概念對素數分佈進行分析探討的方法稱為能量參照法。
謹將素數定理與能量參照法結合生成素數分佈新論如下：
如果集合X是集合N（N=全體自然數）的子集；集合X中與pᵢ、p₀p₁…pᵢ互素的元素的分佈比例分別為yᵢ、y₀y₁…yᵢ。 （i∈N）
且令：
zᵢ=（pᵢ-1）/pᵢ；rᵢ=（y₀y₁…yᵢ）/（z₀z₁…zᵢ）。
如果存在n使得：i＞n，所有的rᵢ都接近於r；則稱集合X存在參照常數r。
且令：s範圍內集合X中元素的能量和為e，素數元素的數量為q。 （s足夠大）
則有：q=er。
㈡、探討各種奇素數組合的分佈狀態。
謹將奇素數組合分為兩種型別。
型別一、非動態素數鏈。
如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以某個奇素數p，所得互異的正整數餘數為1，2…p-1。
（uᵢ為正偶數，i=1，2…n）
且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}。 （a為奇素數）
則有：序列A中至少有一個數能夠被p整除。
當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鏈（或非動態素數鏈）。
序列A中的元素包含p時才有可能均為素數，使得序列A能夠包含p的a值數量有限。
因此，任一型號的非動態素數鏈數量有限。
型別二、動態素數鏈。
如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個。
（uᵢ為正偶數，i=1，2…n）
且令：序列A={a，a+u₁，a+u₁+u₂，… a+u₁+u₂…+uₙ}。 （a為奇素數）
當序列A中的元素均為素數時，則稱其為加u₁加u₂…加uₙ型素數鏈（或動態素數鏈）。
且令：a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁均為素數。 （2≤n＜a，2≤a₁＜a₂…＜aₙ₋₁）
則有：a₁，a₂，…aₙ₋₁除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個。
故a，a+a₁，a+a₂，…a+aₙ₋₁是動態素數鏈。
由此可知：任意n（n≥2）個互異且大於n的奇素數均可組成一條長度為n的動態素數鏈，幾乎所有的奇素數組合都屬於動態素數鏈。
接下來以序列A={5，7，11，13}為例探討各種動態素數鏈的分佈狀態。
序列A={5，7，11，13}中相鄰素數的間距依次是u₁=2，u₂=4，u₃=2。
且令：P={全體奇素數}；
Qᵢ={x|x=a-2i，（a∈P）}。 （i=1，2，3，4）
且令：Rᵢ=P∩Qᵢ；S₁=R₁∩R₃；
S₂=R₂∩R₃；S₃=R₁∩R₄；
S₄=R₃∩R₄；T=R₁∩R₃∩R₄。
則有：R₁={3，5，11…}；R₂={3，7，13…}；
R₃={5，7，11…}；R₄={3，5，11…}；
S₁={5，11，17…}；S₂={7，13，37…}；
S₃={3，5，11…}；S₄={5，11，23…}；
T={5，11，101…}。
［集合Rᵢ（i=1，2，3，4）分別由全體加2i型素數鏈的第一個元素組成；集合S₁、S₂、S₃、S₄分別由全體加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈的第一個元素組成；集合T由全體加2加4加2型素數鏈的第一個元素組成］
已知：s範圍內素數的分佈密度是1/㏑s。
因此，s範圍內集合Qᵢ（i=1，2，3，4）中元素的分佈密度同樣是1/㏑s。
又（s/㏑s）/（1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s）→1。
因此，s範圍內集合Qᵢ（i=1，2，3，4）中元素的能量和為e=（s/㏑s）（1/㏑s）=s/㏑²s。
已知集合Q₁={x|x=a-2，（a∈P）}={1，3，5…}。
且令：集合Q₁中與pᵢ互素的元素的分佈比例為yᵢ。 （i∈N）
則有：y₀=1；i>0時，yᵢ=（pᵢ-2）/（pᵢ-1）。
且令：
zᵢ=（pᵢ-1）/pᵢ；rᵢ=（y₀y₁…yᵢ）/（z₀z₁…zᵢ）。
則，
rᵢ={（1/2）（3/4）（5/6）…［（pᵢ-2）/（pᵢ-1）］}/{（1/2）（2/3）（4/5）（6/7）…［（pᵢ-1）/pᵢ］}可化為式B與式B‘如下：
式B、
rᵢ=［（3/4）（3/2）］［（5/6）（5/4）］…{［（pᵢ-2）/（pᵢ-1）］［p₍ᵢ₋₁₎/（p₍ᵢ₋₁₎-1）］}［pᵢ/（pᵢ-1）］。
式B’、
rᵢ=（3/2）［（3/4）（5/4）］［（5/6）（7/6）］…{［（pᵢ-2）/（pᵢ-1）］［pᵢ/（pᵢ-1）］}。
式B中 pᵢ/（pᵢ-1）＞1；
［（pₘ-2）/（pₘ-1）］［pₘ₋₁/（pₘ₋₁-1）］＞1。
（m=2，3…i）
因此，
rᵢ＞［（3/4）（3/2）］［（5/6）（5/4）］…{［（pᵢ-2）/（pᵢ-1）］［p₍ᵢ₋₁₎/（p₍ᵢ₋₁₎-1）］}。
式B‘中 ［（pₘ-2）/（pₘ-1）］［pₘ/（pₘ-1）］＜1。 （m=2，3…i）
因此，rᵢ＜（3/2）［（3/4）（5/4）］［（5/6）（7/6）］…{［（p₍ᵢ₋₁₎-2）/（p₍ᵢ₋₁₎-1）］［p₍ᵢ₋₁₎/（p₍ᵢ₋₁₎-1）］}。
經計算，rᵢ=2，1。5，1。406，1。367，1。354…
當i=253時，1。3196＜rᵢ＜1。3204；隨著i的不斷增大，rᵢ→1。3203236…
因此，rᵢ→1。320（精確到千分位）；即，集合Q₁存在參照常數r=1。32。
因此，s範圍內集合Q₁中素數數量分佈的計算公式是q=er=1。32s/㏑²s。
同理可證：集合Q₂，Q₃，Q₄的參照常數依次是1。32，2。64，1。32。
因此，s範圍內加u（u=2，4，6，8）型素數鏈［集合Rᵢ（i=1，2，3，4）中元素］數量分佈的計算公式依次是1。32s/㏑²s，1。32s/㏑²s，2。64s/㏑²s，1。32s/㏑²s。
且令：X={x|x=pa-y，（a∈N）}；P₁=X∩R₁。
（p為素數，y∈N，0＜y＜p；p＞2時，y≠2）
則有：p、y確定時，s範圍內集合P₁、R₁中的元素數量分佈之比為1/（p-2）。
（p=2時，用1代替p-2）
且令：
R₁’={x|x=a+6，（a∈R₁）}={9，11，17…}。
已知：s範圍內集合R₁中元素的分佈密度是1。32/㏑²s。 因此，s範圍內集合R₁‘中元素的分佈密度同樣是1。32/㏑²s。
又（s/㏑s）/（1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s）→1。
因此，s範圍內集合R₁’中元素的能量和為e=（s/㏑s）（1。32/㏑²s）=1。32s/㏑³s。
且令：集合R₁‘中與pᵢ互素的元素的分佈比例為yᵢ。 （i∈N）
則有：
y₀=1，y₁=1；i＞1時，yᵢ=（pᵢ-3）/（pᵢ-2）。
且令：
zᵢ=（pᵢ-1）/pᵢ；rᵢ=（y₀y₁…yᵢ）/（z₀z₁…zᵢ）。
經計算，rᵢ→2。165（精確到千分位）。
即，集合R₁’存在參照常數r=2。165。
因此，s範圍內集合R₁‘中素數數量分佈的計算公式是q=er=2。86s/㏑³s；即，s範圍內加2加4型素數鏈（集合S₁中元素）數量分佈的計算公式是2。86s/㏑³s。
同理可證：s範圍內加4加2、加2加6、加6加2型素數鏈（集合S₂、S₃、S₄中元素）數量分佈的計算公式都是2。86s/㏑³s。
且令：X={x|x=pa-y，（a∈N）}；P₂=X∩S₁。
（p為素數，y∈N，0＜y＜p；p=3時，y≠2；p=5時，y≠1，2；p＞5時，y≠2，6）
則有：p、y確定時，s範圍內集合P₂、S₁中的元素數量分佈之比為1/（p-3）。
（p=2，3時，用1代替p-3）
關於rᵢ的計算謹作論述C（標識C備用）：
在計算rᵢ→1。32（n=1）及rᵢ→2。165（n=2）的過程中發現，n為任意正整數時，rᵢ={…［（pᵢ-n-1）/（pᵢ-n）］}/{（1/2）（2/3）（4/5）（6/7）…［（pᵢ-1）/pᵢ］}都能夠類似地化為兩個式子，且使得：一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不小於1；另一個式子裡面從某一項開始，後面連續相乘的各項均趨近1且不大於1。
因此，n為任意正整數，rᵢ都將趨近於常數。
且令：
S₁’={x|x=a+8，（a∈S₁）}={13，19，25…}。
經計算，集合S₁‘存在參照常數r=1。451。
已知：s範圍內集合S₁中元素的分佈密度是2。86/㏑³s。 因此，s範圍內集合S₁’中元素的分佈密度同樣是2。86/㏑³s。
又（s/㏑s）/（1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s）→1。
因此，s範圍內集合S₁‘中元素的能量和為 e=（s/㏑s）（2。86/㏑³s）=2。86s/㏑⁴s。
因此，s範圍內集合S₁’中素數數量分佈的計算公式是q=er=4。15s/㏑⁴s；即，s範圍內加2加4加2型素數鏈（集合T中元素）數量分佈的計算公式是4。15s/㏑⁴s。
且令：X={x|x=pa-y，（a∈N）}；P₃=X∩T。
（p為素數，y∈N，0＜y＜p；p=3時，y≠2；p=5時，y≠1，2，3；p=7時，y≠1，2，6；p＞7時，y≠2，6，8）
則有：p、y確定時，s範圍內集合P₃、T中的元素數量分佈之比為1/（p-4）。
（p=2，3時，用1代替p-4）
關於公式係數（例4。15）的計算謹作論述C‘：
且令：序列U={u₁，u₁+u₂，u₁+u₂+u₃}中的元素（即2，6，8）除以素數pₓ，所得互異的正整數餘數為tₓ個。 （x=0，1…m）
且令：a=（p₀-t₀-1）（p₁-t₁-1）…（pₘ-tₘ-1）； b=p₀p₁…pₘ；d=（p₀-1）（p₁-1）…（pₘ-1）。
則有：m足夠大時，
ab³/d⁴=1。32*2。165*1。451=4。15。
綜上所述，以此類推：
如果序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以任意的素數p，所得互異的正整數餘數的數量少於p-1個。
（uᵢ為正偶數，i=1，2…n）
則有：s範圍內加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈數量分佈的計算公式是q=er=cₙs/㏑ⁿ⁺¹s。
（s較小時，用㏑s-1。08代替㏑s計算）
綜合論述C、C’，係數cₙ的計算方法如下：
且令：序列U中的元素除以素數pₓ，所得互異的正整數餘數為tₓ個。 （x=0，1…m）
且令：a=（p₀-t₀-1）（p₁-t₁-1）…（pₘ-tₘ-1）；b=p₀p₁…pₘ；d=（p₀-1）（p₁-1）…（pₘ-1）。
則有：m足夠大時，
cₙ=abⁿ/dⁿ⁺¹=n個常數之積=常數。
當㏑s＞n+1時，cₙs/㏑ⁿ⁺¹s是一個增函式，其值域為無窮大；因此，加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈存在無窮多條。
繼續探討
經分析整理，n為正整數，可得以下結論：
1、s範圍內加2加4…加2n型動態素數鏈數量分佈的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s。
2、s範圍內連續n個加u型動態素數鏈數量分佈的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s。 （假設與偶數u互素的最小素數為p，n≤p-2）
3、s範圍內加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈數量分佈的計算公式是cₙs/㏑ⁿ⁺¹s。
［uₐ=mᵃ（m-1），（m-1為正整數，a=1，2…n）］
4、假設區間［n，2n）（n＞2）記憶體在t個素數，則該t個素數是一條長度為t的動態素數鏈；假設任意連續的n個自然數中，最長的動態素數鏈包含y個素數；n確定時，理論上能夠透過有限個步驟的計算得到確定的t、y（且t≤y）。
5、如果素數鏈的第一個元素小於s，則定義該素數鏈在s範圍內；當n確定、s足夠大時，（n+1）s範圍內每s個連續的自然數中接近存在s/㏑s個素數；因此，s範圍內加u₁加u₂…加uₙ（uᵢ≤s，i=1，2…n）型動態素數鏈的數量總和接近於（s/㏑s）ⁿ⁺¹；因此，這些素數鏈數量分佈的計算公式的係數總和接近於sⁿ。
［依據係數cₙ的取值規律同樣可證（略）］
關於動態素數鏈伸展性與對稱性的簡論。
且令：序列U={u₁，u₁+u₂，… u₁+u₂…+uₙ}中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數為a個；序列V={mu₁，m（u₁+u₂），…m（u₁+u₂…+uₙ）}。 （n、m均為正整數）
則有：m被p整除時，序列V中的元素均被p整除；m與p互素時，序列V中的元素除以素數p，所得互異的正整數餘數同樣為a個。
且令：序列W={uₙ，uₙ+uₙ₋₁，… uₙ+uₙ₋₁…+u₁}；序列U中的元素除以素數p，所得餘數依次組成序列X={x₁，x₂，…xₙ}；序列W中的元素除以素數p所得餘數依次組成序列K={k₁，k₂，…kₙ}。
則有：xₙ=kₙ；（xᵢ+kₙ₋ᵢ）除以p得到餘數xₙ。 （i=1，2…n-1）
因此，序列X、K中互異的正整數數量相等。
綜合而論，動態素數鏈存在以下基本性質：
任一型號的動態素數鏈在自然數中的分佈具有無窮性、諧和性、伸展性、對稱性。
無窮性是指任一型號的動態素數鏈其數量都是無窮的。
諧和性是指任一型號的動態素數鏈都對應一個公式，其數量的分佈狀態接近於該公式的增長趨勢。 同時存在更深層次的諧和性，且令全體加u₁加u₂…加uₙ型動態素數鏈的第一個元素組成集合P‘；u₁、u₁+u₂、… u₁+u₂…+uₙ除以素數p所得餘數為bᵢ（i=1，2…n），存在k個正整數y滿足：y＜p，y≠bᵢ；X={x|x=pa-y，（a∈N）}；Pₙ=P’∩X；當p、y確定時，s範圍內集合Pₙ、P‘中元素數量分佈之比為1/k。
伸展性是指將任一型號的動態素數鏈其相鄰素數的間距統一放大到m（m為正整數）倍，即可得到m倍間距型號的動態素數鏈，s範圍內兩者數量分佈之比為常數。
對稱性是指對於任一型號的動態素數鏈，都將存在與其相鄰素數的間距對稱的動態素數鏈，s範圍內兩者數量分佈之比為1。
㈢、探討偶數u的素數分解對的分佈問題。
且令：u（u>1000）為偶數；√u範圍內存在m個奇素數；X={x|x=u-a，（a∈P，a＜u）}。
且令：集合X中與pᵢ互素的元素的分佈比例為yᵢ；zᵢ=（pᵢ-1）/pᵢ；rᵢ=（y₀y₁…yᵢ）/（z₀z₁…zᵢ）。 （i=0，1…m）
則可推出rᵢ→r；u=2ⁿ（n∈N）時，r=1。32；u存在奇素因數d₁，d₂…dₓ時，
r=1。32［（d₁-1）（d₂-1）…（dₓ-1）］/［（d₁-2）（d₂-2）…（dₓ-2）］。
每個偶數u都對應一個參照常數r。
經分析，s（s≤u/2，s的下限＜＜u/2）範圍內集合X中元素的分佈密度是1/㏑u。
又（s/㏑s）/（1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s）→1。
因此，s範圍內集合X中元素的能量和為e=s/（㏑s㏑u）。
因此，s範圍內使得a、u-a均為素數的a值數量分佈的計算公式是q=er=rs/（㏑s㏑u）。{偶數u＞1000，s≤u/2，s的下限＜＜u/2；u=2ⁿ（n∈N）時，r=1。32；u存在奇素因數d₁，d₂…dₓ時，r=1。32［（d₁-1）（d₂-1）…（dₓ-1）］/［（d₁-2）（d₂-2）…（dₓ-2）］}
當s=u/2時，可得偶數u的素數分解對數量的計算公式是rs/（㏑s㏑u）≈ru/（2㏑²u）。
（u較小時，用㏑u-1。08代替㏑u計算）
依據該公式判斷哥德巴赫猜想成立。