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初一下數學:軸對稱圖形的典範,等腰三角形題型全解

初一下數學:軸對稱圖形的典範,等腰三角形題型全解

歡迎來到百家號“米粉老師說數學”,在特殊三角形中,等腰三角形是一類很重要的軸對稱圖形,而它的性質都源於軸對稱,所以,從軸對稱圖形的角度,去學習、理解、掌握等腰三角形的性質及其運用,是一個正本清源的好的思考角度。今天我們就來說一說,由軸對稱性如何演變出等腰三角形的各種性質,及其在題型中是如何應用的。

【知識梳理】

1。概念:有兩條邊相等的三角形是等腰三角形;這兩條相等的邊叫腰,另一邊叫底邊,兩腰的夾角叫頂角,腰與底邊的夾角叫底角。

2。性質:①等腰三角形是軸對稱圖形,對稱軸是它的頂角角平分線所在的直線;

②等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱“三線合一”);

③等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”)

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3。判定:如果一個三角形有兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”)

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4。等腰三角形的分類討論

①若題目未明確角是等腰三角形的哪種角,則需分角是頂角或底角兩種情形分別進行討論論證;

②若題目未明確邊是等腰三角形的哪種邊,則需分邊是腰或底邊兩種情形分別進行討論論證;

【典型例題】

例1。如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC於D,△ABC的周長為36,AD=12,則△ADC的周長為________

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【解析】考查等腰三角形的性質“兩腰相等”及“三線合一”。

△ADC的周長=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+(AB+BC+AC)/2= =12+18=30。

例2。如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,點D、E分別在邊AB、AC上,BE與CD交於點O,且BO=CO,求證:(1)∠ABE=∠ACD;(2)DO=EO。

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【解析】

(1)利用等邊對等邊的性質即可得出結論;

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB,∴∠ABE=∠ACD;

(2)利用三角形全等即可得出結論;

在△DOB與△EOC中,∵∠ABE=∠ACD,OB=OC,∠DOB=∠EOC,∴△DOB≌△EOC,∴OD=OE;

例3.一個等腰三角形兩個內角的和為100,則它的頂角度數是_______________

【解析】兩個內角是兩個底角之和還是一個頂點和一個底角之和,題目沒說,所以要分兩種情況討論;

①“底角+頂角=100”:根據三角形內角和,可算出另一底角為80,所以頂角為20;

②“底角+底角=100”:根據三角形內角和,可算出頂角為80。

故它的頂角度數是20或80

例4。等腰三角形的一個角是80°,則它頂角的度數是_________

【解析】這個角是頂角還是底角題目沒明確,所以要分兩種情況討論;

①“頂角=80”:答案即為80;

②“底角=80”:根據三角形內角和,可算出頂角為20。

故它的頂角度數是80或20

例5。一個等腰三角形的兩邊長分別為5,8,則它的周長為_____

【解析】由於題目沒說明5和8誰是底邊誰是腰長,所以要分兩種情況討論;

①當一腰長為5,一底邊長為8時,則等腰三角形的周長為5+5+8=18;

②當一腰長為8,一底邊長為5時,則等腰三角形的周長為8+8+5=23。

故等腰三角形周長為18或23。

例6。一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為_____

【解析】4和8誰是腰誰是底邊,題目未明確,所以要分兩種情況討論;

①當一腰長為4,一底邊長為8時,∵4+4=8,∴不符合三角形三邊關係,故不存在;

②當一腰長為8,一底邊長為4時,則等腰三角形的周長為8+8+4=20。

故它的頂角度數是20或80

例7。如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40,點D線上段BC上運動(點D不與點B、C重合),連線AD,作∠ADE=40,DE交線段AC於點E.在點D的運動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,求∠BDA的度數;若不可以,請說明理由.

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【解析】由於題目未明確等腰△ADE的腰與底,故需要分類討論,再利用等腰三角形性質及三角形內角和公式、外角定理即可求解。

∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C=40。

①當AD=AE時,∴∠AED=∠ADE=40,∵∠AED是∠C的外角,∴∠AED>∠C,故不存在,捨去;

②當AD=DE時,∴∠DAC=(180-40)÷2=70,∴∠BDA=∠DAE+∠C=70+40=110;

③當AE=DE時,∠DAE=40,∴∠BDA=∠DAE+∠C=40+40=80;

綜上所述,當△ADE是等腰三角形時,∠BDA的度數為110°或80°。

例8。閱讀下列材料,解答問題:

定義:線段AD把等腰三角形ABC分成△ABD與△ACD(如圖12-1),如果△ABD與△ACD均為等腰三角形,那麼線段AD叫做△ABC的完美分割線。

⑴如圖1,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=108,AD為△ABC的完美分割線,且BD

則∠B=_________,∠ADC=_________;

⑵如圖2,已知已知△ABC中,AB=AC,∠A=36,BE為△ABC的角平分線,求證:BE為△ABC的完美分割線;

⑶如圖3,已知△ABC是一等腰三角形紙片,AB=AC,AD是它的一條完美分割線,將△ABD沿直線AD摺疊,點B落在點B`處,AB`交CD於點E。求證:DB`=EC。

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【解析】

(1)利用等腰三角形的性質即可求解;

由題可知,△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形,∴∠B=∠C,∠BAD=∠B,∵∠BAC=108,∴∠B=36,∴∠BAD=36,∴∠ADC=∠B+∠BAD=36+36=72;

(2)利用等角對等邊判定△EAB、△BEC是等腰三角形即可;

由題可知,△ABC是等腰三角形,∠A=36,∴∠ABC=∠C=72,∵BE為△ABC的角平分線,∴∠ABE=∠CBE=36,∴∠ABE=∠A,∴BE=EA,△EAB是等腰三角形;∵∠BEC=∠A+∠ABE=36+36=72。∴∠BEC=∠C,∴BC=BE,△BEC是等腰三角形,∵△ABC、△EAB、△BEC均是等腰三角形,∴BE為△ABC的完美分割線;

(3)利用等腰三角形的性質及摺疊性質,可用ASA證△CAE≌△B`AD,即可得出結論。

AD是它的一條完美分割線,∴△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形,∴∠B=∠C,∠B=∠BAD,∠ADC=∠DAC,AB=AC,由摺疊性質可得:AB=AB`,∠B=∠B`,∠BAD=∠B`AD,∴∠B`=∠C,AB`=AC,∵∠ADC=2∠BAD,∴∠CAD=2∠BAD=2∠DAB`,∴∠CAE=∠B`AD,在△AEC與△ADB`中,∵∠CAE=∠B`AD,AC=AB`,∠C=∠B`,∴△CAE≌△B`AD,∴EC=DB`。

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