03-04-15_衛星執行週期相等時的速度關係

本期高中物理競賽試題，我們繼續來研究以下衛星在變軌後的運動週期問題，並透過運動週期之間的等量關係來確定變軌速度之間的具體關係。通常，我們在處理飛船或衛星變軌問題的時候，大都採用角動量守恆和機械能守恆來聯立方程，並透過解方程的方式得到變軌後的衛星在近行星點和遠行星點的運動狀態，並透過速度的表示式進一步計算得到橢圓執行軌道的軌道引數，進而進一步得到軌道方程，這樣的思路可以解決軌道變軌問題中的所有問題，但是求解步驟還是非常複雜的，本期題目，小編透過應用開普勒第三定律，簡化運動週期的計算步驟，將原本需要利用掠面速度計算的週期問題，簡化為比值計算，大大簡化了計算過程。

試題預覽

一衛星圍繞一質量為 M 的行星，在半徑為 r 的圓形軌道上運動，如果此時給衛星一個附加徑向速度 ur ，或一個附加切向速度 uτ ，衛星都將沿一個橢圓軌道運動（設加速後衛星機械能仍滿足 E < 0 ）

（1） 確定在這兩種情況中衛星的運動週期。

（2） 徑向速度 ur 以及切向速度 uτ 必須滿足什麼關係才能使衛星運動週期相等。

解題步驟

方法分析

從上面的解題步驟可以看出來，本期題目的重點解題思路仍舊是利用角動量守恆和機械能守恆處理軌道運動的問題，這樣的思路其實是這類題目中非常普遍採用的，這主要歸功於衛星在運動過程中，僅僅受到萬有引力的作用，並且萬有引力是提供向心力的，而由於萬有引力是距離平方反比的力，也就是說，這個力所做的功與路徑沒有關係，僅僅與初末位置有關，因此萬有引力也是保守力，這樣，對於運動中的衛星而言，僅僅受到了保守力的作用，因此要保持機械能守恆，同時由於萬有引力的力矩始終為零，即對於衛星而言，沒有受到外力的力矩作用，因此保持角動量守恆，這樣透過求解這兩個方程，就能夠得到衛星在遠行星點的運動狀態，即運動速度的大小，以及衛星在遠行星點處的軌道半徑大小。

但是值的注意的時，對於第二種情況下的方程的解，要特別注意，當衛星具有沿半徑方向的運動速度的時候，衛星所在的位置並不是衛星軌道的近行星點，因為當衛星處於近行星點時，衛星僅僅具有切向速度，就如同第一種情況一樣，所以在對於第二種情況的求解過程中，要特別注意求解出來的兩個解其實都有其物理意義，要明確它們的物理意義，並對應到近行星點和遠行星點上來，為下面利用開普勒第三定律求解週期的關係做好準備。

後面的解題步驟就是利用開普勒第三定律求解週期的過程了，這裡僅僅利用了橢圓的基本性質和角動量守恆方程得到的結論進行化簡後，就能夠簡單得到最終的週期關係，過程可能稍有點兒複雜，同學們細心做即可。