也來講一講複數的發展史

圖片來源：pexels-josh-hild

從複數最初被人們所發現， 到複變函式基本理論的建立， 大約經歷了近 300 年的歷程。 期間充滿了困惑、懷疑， 甚至敵意。

義大利數學家卡爾達諾 （G。 Cardano， 1501-1576） 在 1545 年出版的《大術》一書被公認為是第一本引入複數概念的數學專著。然而創新者本人在這本著作中就給複數戴上了一頂“既不可捉摸，又沒有用處”的帽子，預示著出生後的複數將是命運多舛。

1572 年，義大利另一位數學家邦貝利 （R。 Bombelli， 1526-1572） 出版的《代數學》一書，第一次定義出複數的代數運算，但又否定說“所有這些似乎是以詭辯而不是真理為基礎的”。那時複數被稱為“不可純數”或“虛數”。不幸的是後者一直沿用至今。

所有這些困惑和麻煩皆指向“什麼是複數”這一帶有根本性的問題。

直到 18 世紀末、 19 世紀初，挪威的測量學家韋塞爾 （C。 Wesel， 1745-1818）、瑞士人阿爾岡 （J。 R。 Argand， 1768-1822） 和德國數學家高斯 （C。F。Guass， 1777-1855）先後互相獨立地給出複數的幾何表示。

在直角座標系下， 橫軸上取點 x， 縱軸上取點 y， 且分別做垂直於該座標軸的直線， 它們的交點表示複數 x + iy。 像這樣表示複數全體的平面稱為“複平面”，特別地，高斯還把複數看作是從原點出發的向量，並利用複數與平面向量的一一對應的關係，進一步給出複數的加倍和乘法的幾何表示。

至此複數被揭去神秘的面紗，有了立足之地。人們開始承認複數是實實在在的數，不再是虛無縹緲的虛幻之數。複數及複變函式理論的發展開始進入快車道。

1814-1851 年間經過法國數學家柯西 （A。L。Caucby， 1789-1857）、德國數學家黎曼 （G。F。B。Riemann， （1826-1866）） 和魏爾斯特拉斯 （K。T。W。Weierstrass， 1815-1897）等人的巨大努力，複變函式形成了非常系統、完整的基本理論。

今天覆變函數理論仍在發展，同時也滲透到代數學、數理、微分方程、機率統計等其他數學分支，在電學、彈性力學、理論物理、天體力學等領域得到了廣泛的應用，已成為從事自然科學工程技術的人才必須具備的數學知識。

複數的數學表示

設 x，y 為兩實數，稱形如z = x + iy （或 x + yi）的數為複數， 這裡 i 為虛單位。x 與 y 分別叫做 z 的實部與虛部，常記作 x = Rez； y = Imz。 虛部為零的複數為實數， 簡記為 x + i0 = x。 因此， 全體實數是複數的一部分。特別記 0 + i0 = 0， 即當且僅當 z 的實部和虛部同時為零時，複數 z 為零。實部為零且虛部不為零的複數稱為純虛數。如果兩複數的實部和虛部分別相等， 則稱兩複數相等。

本文節選自哈爾濱工業大學數學學院包革軍、邢宇明、宋威、凌怡老師編寫的《複變函式與積分變換簡明教程》略有刪改，感謝原作者。

新 書 書 訊

《複變函式與積分變換簡明教程》出版啦~

內容簡介

工程數學中複變函式與積分變換是理工科院校學生繼工科數學分析課程之後的又一門數學基礎課。透過本課程的學習，不僅能學到複變函式與積分變換中的基本理論及工程技術中的一些常用數學方法，同時還可以鞏固和複習工科數學分析的基礎知識，為學習有關的後續課程和進一步擴大數學知識而奠定必要的數學基礎，為此我們按照教育部關於課程改革的精神，結合多年從事同名課程的教學實踐，並參照原國家教育部工科數學課程教學指導委員會最新修訂的“工科類本科數學基礎課程教學基本要求 （修訂稿）“ 編寫了這本複變函式與積分變換簡明教程。

本書是國家工科數學教學基地之一的哈爾濱工業大學數學系教師團隊結合多年的教學實踐和研究而編寫的系列教材之一。 全書共 7 章，包括複數、解析函式、複變函式的積分、級數、留數及其應用、傅立葉變換、拉普拉斯變換。每章後精心設計了適量的習題，並在書末附有參考答案。

本書可供高等工科院校的電類及與電類有關的各專業使用，也可供其他複變函式與積分變換課程少學時要求的各個專業選用，此外，可作為工程技術人員自學複變函式與積分變換的參考書。

本書特點

（1） 將複變函式與積分變換的內容有機地結合在一起，既保證了教學質量的提高，又適當壓縮學時數。完成本書的全部教學內容需要 40 學時。其中複變函式部分 （前五章） 可講授 30 學時，積分變換部分 （後兩章） 可講授 10 學時。

（2） 重視對學生能力的培養，注意提高學生的基本素質。對基本概念的引入儘可能聯絡實際，突出其物理意義；基本理論的推導深入淺出，循序漸進，適合工科專業的特點；基本方法的闡述富於啟發性，使學生能舉一反三、融會貫通，以期達到培養學生創新能力的目的。

（3） 為提高本書的趣味性和可讀性，力求語言通俗易懂、簡潔流暢。從有利於學生掌握所學的內容，提高分析問題、解決問題的能力出發，在每章中配有較多的例題，供學生參考，教師講授時做適當取捨，不必全講。全書在章末精心設計了適量的習題，書末附有習題答案。

圖書目錄

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前言

第 1 章 複數

1。1 複數的發展史及四則運算

1。2 複數的幾何表示和開方

1。3 複平面上的點集

習題 1

第 2 章 解析函式

2。1 複變函式

2。2 Cauchy-Riemann 方程

2。3 調和函式

2。4 初等函式

習題 2

第 3 章 複變函式的積分

3。1 複變函式積分的概念

3。2 柯西積分定理

3。3 柯西積分公式

習題 3

第 4 章 級數

4。1 複變函式項級數

4。2 冪級數

4。3 泰勒級數

4。4 洛朗級數

習題 4

第 5 章 留數及其應用

5。1 孤立奇點

5。2 留數

5。3 留數在定積分計算中的應用

習題 5

第 6 章 傅立葉變換

6。1 傅立葉積分與傅立葉積分定理

6。2 傅立葉變換與傅立葉逆變換

6。3 單位脈衝函式

6。4 廣義傅立葉變換

6。5 傅立葉變換的性質

6。6 卷積

習題 6

第 7 章 拉普拉斯變換

7。1 拉普拉斯變換的概念

7。2 拉普拉斯變換的性質

7。3 拉普拉斯逆變換

7。4 拉普拉斯變換在解方程中的應用

習題 7

習題答案

參考文獻

附錄

本套教材特點：

雙一流名校專家作者三十年經驗奉獻

中文英文雙語版本適合不同教學需求

普通版、簡明版滿足分層次教學要求

提供輔導、PPT、答案完備教學資源

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