題目：

如圖等邊三角形ABC中，在三角形內部有一點P，使得AP=7，BP=5，CP=6，求三角形ABC面積

知識點回顧：

直角三角形性質定理

直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。（勾股定理）

在直角三角形中，兩個銳角互餘。

直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半（即直角三角形的外心位於斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質稱為直角三角形斜邊中線定理。

直角三角形的兩直角邊的乘積等於斜邊與斜邊上高的乘積。

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（AD）²=BD·DC；（AB）²=BD·BC；（AC）²=CD·BC。

餘弦定理

對於任意三角形，任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的兩倍。

正弦定理

一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等於該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度

三角形面積公式

已知三角形底a，高h，則 S=ah/2

已知三角形三邊a，b，c，則（海倫公式）（p=（a+b+c）/2），S=sqrt［p（p-a）（p-b）（p-c）］

已知三角形兩邊，這兩邊夾角，則面積等於兩夾邊之積乘夾角正弦值的一半。

設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r，則三角形面積S=（a+b+c）r/2

設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R，則三角形面積=abc/4R

S=2R²·sinA·sinB·sinC

三角形面積公式

已知三角形底a，高h，則 S=ah/2

已知三角形三邊a，b，c，則（海倫公式）（p=（a+b+c）/2），S=sqrt［p（p-a）（p-b）（p-c）］

已知三角形兩邊，這兩邊夾角，則面積等於兩夾邊之積乘夾角正弦值的一半。

設三角形三邊分別為a、b、c，內切圓半徑為r，則三角形面積S=（a+b+c）r/2

設三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R，則三角形面積=abc/4R

S=2R²·sinA·sinB·sinC

粉絲解法1：

過點B作BH⊥PD交於H，勾股定理求出DH、BH再求出正弦和餘弦值（高中直接餘弦定理可求

△BDP中∠D的正弦和餘弦值可算出，再三角函式加法計算∠BDA的餘弦值，餘弦定理得AB²，→解得S△ABC=55✔3/4+9✔6

粉絲解法2：

將△APC繞A順時針轉到△ADB，D與B重合，C在D點，連PD，△APD為正△，s△ABP＋s△ACP＝s△APD＋s△BPD。同法可求s△BPC＋s△APC＝s△BPE＋s△CPE＝9√3＋6√6，得s△ABC

粉絲解法3：

將△BCP以A為園心順時針轉60度，AC與AB重合，得三邊為7的等邊△ADP，

S△ADP＝49√3／4，和三邊分別為5，6，7的△DBP，S△DBP＝6√6

同樣議B為園心轉△APB，使AB與BC重合，

得邊為6的等邊△BEP，S△BEP＝36√3／4和三邊分別為5，6，7的△ECP，S△ECP＝6√6

以C為園心，轉△BCP，使CB重合AC

得邊為5的等邊△CFP，S△CFP＝25√3／4和三邊分別為5，6，7的△AFP，S△AFP＝6√6

S△ABC＝1／2（49√3／4＋36√3／4＋25√3／4＋3x6√6）

＝55√3／4＋9√6

粉絲解法4：

這個題可總結出公式：正三角形內有一點，該點與△三個頂點的距離分別為a、b、c，則△的面積為：S=（√3/8）（a²+b²+c²）+〈3/2）［√p（p－a）（p－b）（p－c）］，其中p=½：（a+b十c）

粉絲解法5：

不難求出sin∠APC=（2✔6+5✔3）/14。然後用正弦定理求得三角形APC面積。另外把三角形BPC繞點B順時針旋轉60°，即可求解。

或者求出cos∠APC值。用餘弦定理求出正三角形邊長即可

粉絲解法6：

將△pac繞a點順時針旋轉，使ac與ab重合，得到四邊形p‘bpa，其面積=邊長為7的正三角形+邊長分別為5，6，7的三角形，同樣操作將△pab繞b順時針旋轉，使ab與bc重合，四邊形面積=邊長為5的正三角形+邊長分別為5，6，7的三角形，再相同操作得四邊形面積=邊長為6的正三角形+邊長分別為5，6，7的三角形，三個四邊形面積和÷2=△abc面積