1。設k是給定的自然數，試問不等式

|x|+|y|<=k（x不等於y）的整數解有多少組？

解：為了解決這個問題，先考慮一下一個簡單的問題，以便於探索解題的路徑。

把|x|+|y|<=k（x不等於y）設為不等式①

令k=1，考慮下面的簡化的問題：

|x|+|y|<=1（x不等於y）②的整數解有多少組？

經過簡化後的問題就容易解決。因為x，y均為整數，所以不等式②就是

|x|+|y|=0，③或|x|+|y|=1。④

方程③的整數解是x=y=0，由於x不等於y，所以它不是不等式②的解。方程④的整數解有四組：

第一組：x1=0，y1=1；第二組：x2=0，y2=-1

第三組：x3=1，y3=0；第四組：x4=-1，y4=0

所以，它們都是不等式②的解。因此不等式②的整數解共有四組。

透過簡化了的問題，可以把不等式的問題轉化為不定式方程的問題。

因|x|+|y|<=k，而且x，y都是整數，所以|x|+|y|的值可能等於0～k。

若|x|+|y|=0，則x=y=0，因為x不等於y，所以它不是不等式①的解。

若|x|+|y|=1，則|y|=1-|x|。顯然，這時就有4×1組整數解：

第一組：x1=0，y1=1；第二組：x2=0，y2=-1；

第三組：x3=1，y3=0；第四組：x4=-1，y4=0。

這四組解都是不等式①的解。

若|x|+|y|=2，則|y|=2-|x|。此時有4×2-2組滿足不等式①的解：

第一組：x1=0，y1=2；第二組：x2=0，y2=-2；

第三組：x3=1，y3=-1；第四組：x4=-1，y4=1；

第五組：x5=2，y5=0；第六組：x6=-2，y6=0。

用同種方法，可得：

若|x|+|y|=3，則不等式①的整數解4×3組。

若|x|+|y|=4，則不等式①的整數解4×4-2組。

………………………………………………

若|x|+|y|=k，當k為奇數時，不等式①的解有4k組；當k為偶數時，不等式①的解有（4k-2）組。

所以，當k為奇數時，不等式①的整數解共有：

［4×1+4×3+…+4×k］+［（4×2-2）+（4×4-2）+…+4（k-1）-2］

=4（1+2+…+k）-2•（k-1）/2

=2k^2+k+1 （組）。

當k為偶數時，共有：

［4×1+4×3+…+4（k-1）］+［（4×2-2）+（4×4-2）

+…+（4k-2）］

=4（1+2+3+…+k）-2•k/2=2k^2+k （組）。

此題完畢。