一、知識結構
二、知識清單
1、什麼是分式
分式的概念可以對比分數的概念理解。
通俗來說,只要分母中有字母的式子,就是分式。
中考中極少會直接考察分式的概念,因此,這部分概念大家瞭解一下就好了。
中考偶爾會考察根據已知條件列分式的問題,如果考察一般都是在應用類的問題,常常出現在選擇題或者填空題,要求直接列出分式或分式方程。(分式方程放在方程部分進行講解)
此類問題一般難度不大,只需要仔細審題即可,如果要求寫字母的取值範圍,需要同時注意分母不等於0,以及保證字母的取值滿足實際意義。例如,例2中的
m
和
n
需要滿足都是正整數。
2、分式有意義
分式有意義的條件,比較簡單,是中考的必考點,需要重點關注。
注意:
分式有意義的條件是:分母≠0;
分式無意義的條件是:分母=0.
分式有意義問題,在中考中最常見的考法是已知分式有意義或無意義,或直接給定分式,就取值範圍,只要列出分母不等於0的不等式,解不等式即可。
【分式有意義】
此外,還有一些時候隱含地考察分式有意義,比如分式值為零問題。
【分式值為零】
已知一個分式的值為零,求未知量的取值範圍。
① 分子
B
=0;
② 分母
A
≠0。
兩個條件必須同時滿足,缺一不可。
分式值為零的問題在中考中也有一定的頻考察率,但是難度不大。
3、分式的性質
分式的分子與分母同乘(或除以)同一個不等於 的整式,分式的值不變.
注意:
(1) 任何分式的問題,首先需要關注的都是分母的值是否為0,這是易錯點,在一些綜合題中常常被忽視。
(2) 分式的變號法則:分式的分子分母與分式本身的符號,改變其中任何兩個,分式的值不變.
(3) 在分式的基本性質中:“分式的值不變”的意義是:利用分式的基本性質對一個分式進行的變形是一種恆等變形。其內在意義是:當等式兩邊的字母取同一數值時,變形前後的分式的值不變。
4、分式的運算
分式的運算主要包括:約分、通分、乘除運算、加減運算、混合運算,以及化簡求值。
其中約分和通分是分式乘除運算和加減運算的基礎,加減乘除運算式化簡求值的基礎,這部分運算在中考中考頻很高,需要熟練掌握。
(1)如果分子和分母都是幾個因式乘積的形式,約去分子和分母中相同因式的最低次冪;
(2)如果分子與分母有係數,約去它們的最大公約數;
(3)如果分式的分子、分母是多項式,先分解因式,然後再約分.
注意:
(1)約分的依據是分式的基本性質,約分的關鍵是找出分式中分子和分母的公因式.
(2)分式的約分一定要進行到底,約分的結果是最簡分式或整式,即將分式化為最簡形式.分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式.
(3)約分時,當分子、分母含有負號時,一般把負號提到分式的前面.
中考中,一般不會單獨考約分,大多放在混合運算或者化簡求值中考察。
【通分】
和分數類似,利用分式的基本性質,使分子和分母同乘適當的整式,不改變分式的值,把幾個異分母分式,分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,這樣的分式變形叫做分式的通分.
通分的步驟:
(1)把分式按約分的步驟化為最簡分式;
(2)求出各分式的最簡公分母;所有因式的最高次冪的積作為公分母,這樣的分母叫做最簡公分母.
(3)用最簡公分母除以原分母所得的商去乘各自的分子,得出通分後的分子.
若分母是多項式,則先分解因式,再通分.
和約分一樣,中考也一般不會單獨考通分,大多放在混合運算或者化簡求值中考察。
【分式的乘除運算】
類似於分數,分式有乘法法則和除法法則:
乘法法則:
分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母.
除法法則:
分式除以分式,把除式的分子、分母顛倒位置後,與被除式相乘.
注意:
(1)分式乘法運算的結果需透過約分化為最簡分式或整式.
(2)當分式與整式相乘時,要把整式與分式的分子相乘作為積的分子,分母不變.
(3)分式的分子或分母的係數是負數時,一般把負號提到分式的前面.
(4)分式與分式相乘,若分子、分母是單項式,可先將分子、分母分別相乘,然後約去公因式,化為最簡分式;若分子、分母是多項式,先把分子、分母分解因式,看能否約分、然後再相乘.
【分式的乘方運算】
【分式的加減運算】
同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減,
異分母分式相加減,先通分,變為同分母的分式再加減,
【分式的混合運算】
分式的混合運算的運算順序:先算乘方,再算乘除,後算加減,如有括號,括號內先算.結果以最簡形式存在.
注意:
(1)分子分母有些可以因式分解,先進行因式分解,再計算.
(2)如果運算結果不是最簡分式,一定要進行約分,使運算結果化成
最簡分式.
(3)有冪的運算時,先算乘方,後算乘除.
【分式的化簡求值】
注意:
(1)化簡求值,必須先把分式化簡後,再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值.
(2)在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最後結果要化成最簡分式或整式.
注意:
化簡求值問題,還可以涉及到整體帶入法的使用,即將已知條件中的某個式子(或經過變形後的式子)看作整體,再將這個式子整體代入到化到最簡的求值式子中求值.
三、考試分析
題型1:分式有意義
題型2: 分式值為零
題型3: 分式的混合運算
題型4: 分式的化簡求值
四、典型真題
【參考答案】