快速證明

8^9 ＞ 9^8

先證明函式

y=lnx/x在［e，+）上是減函式

（1）

函式定義域為（0，+∞）

函式的導數y‘ = （lnx/x）’ =［（lnx）‘*x - lnx*x’］/x^2 = （1-lnx）/x^2

令y‘ = 0，得 （1-lnx）/x^2 = 0

因x≠0，得 x = e

（e為自然常數。e=2。718281828459045…）

當0

y’ = （1-lnx）/x^2 > 0

即在區間（0，e］函式單調遞增

當x>e時

y‘ = （1-lnx）/x^2 < 0

即函式y=lnx/x在區間［e，+∞）函式單調遞減

（點（e，1/e）為函式極大值點）

∵ lnx/x在［e，+

∞

）上是減函式

∴ ln8/8＞ln9/9

∴ 8×9ln8/8＞8×9ln9/9

∴ 9ln8＞8ln9

∴ ln8

^

9＞ln9

^

8

∴ e

^（

ln8^9）＞e

^（

ln9^8）

∴

8^9＞9^8

同理，

2。8^2。81＞2。81^2。8，3^4＞4^3，4。6^4。7＞4。7^4。6，99^100＞100^99

注意y=lnx/x在區間（0，e］單調遞增，注意應用。

在高考當中提高解題速度和提供正確率是我們制勝的法寶。

用y=lnx/x搜尋，會找到它的很多有用的性質，記住和利用這些性質會提高我們解題的速度和正確率。