人類的思維是後天形成的，思維受到各種因素的影響，並表現出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個人希望達到的最高境界之一。數學與數學教育如此受重視，不完全是因為其廣泛的用途，也不能完全從應用的角度來看待數學。在前面我們說明了數學能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實際上數學對人的其他發展，尤其是對人的思維發展有不可或缺的作用和價值，數學是為人的更完美髮展提供了良好訓練。人們常把數學形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實數學不單單使人精密，數學同樣也使人深刻，使人聰慧！

從2005年開始，教育部讓我主導國家數學課程標準的制定，這些年以來，數學的課程標準一直在發展和變化中，從“雙基”到“四基”，再到數學核心素養。今天，我想重點來談談數學核心素養以及未來的方向。數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特徵的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的。

通俗一點而言，就是透過數學學科教育，我們最終要培養一個什麼樣的人？我們提出了數學教育的終極目標，無論我們的學生未來是否從事與數學相關的職業，我們都希望他們具備以下三點能力：1。會用數學的眼光觀察世界；2。會用數學的思維思考世界；3。會用數學的語言表達世界；這其中，數學眼光指的是數學抽象、直觀想象，代表數學的一般性；數學思維指的是邏輯推理、數學運算，代表數學的嚴謹性；數學語言指的是數學模型、資料分析，代表數學應用的廣泛性。

“三會”就是我們對學生在數學能力和數學思維習慣培養上的終極目標。我們教師無論處在哪一個學段，在進行數學教育的時候腦子裡應該始終想著這一終極目標。“三會”的內涵包括數學基本思想：數學眼光：數學抽象；數學思維：邏輯推理；數學語言：數學模型；因此，數學核心素養的主線是“三會”，內涵是數學思想，基礎是知識，獲取方式是過程，是經驗的累積，是思維的習慣和做事的習慣。我們目前所使用的數學教材存在一定的問題，沒有有意識地讓學生感悟數學的基本思想，沒有有意識地引發學生思考、幫助學生積累思維和實踐的經驗。

一、歸納與完全歸納

思維的一種形式是歸納。那麼歸納性質的表徵是什麼呢？所謂歸納，是指透過對有限多個同類物件的觀察分析，猜測一種共性或規律，並證明這種共性的確是正確的一種思維方法。通俗講就是由一系列具體的事實概括出一般原理。

歸納又可分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是前提包含物件的全體，從而對該物件作出一般性結論的方法。不完全歸納法又稱簡單列舉歸納法，是透過觀察和研究，發現某類事物中固有的某種屬性，並且不斷重複而沒遇到相反的事例，從而判斷出所有該類物件都有這一屬性的推理方法。

當“同類物件”為有限多個時，我們將物件一一驗證就可獲得結論（對或錯）；但當“同類物件”無法窮舉或實際上就是無限多時，我們原有的思維方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法。即在數學上所要求的完全歸納，確保其正確性。我們熟悉的完全歸納法——數學歸納法。完全歸納法是從一類事物中每個事物都具有某種屬性，推出這類事物全都具有這種屬性的推理方法。例如：銳角三角形的面積等於底乘高的一半；直角三角形的面積等於底乘高的一半；鈍角三角形的面積等於底乘高的一半；所以，凡三角形的面積都等於底乘高的一半。

完全歸納法有兩個規則：一是，前提中被判斷的物件，必須是該類事物的全部物件；二是，前提中的所有判斷都必須是真實的。

我們來看一些（非完全歸納）例子。

這說明，考察一組物件的性質或規律時，可能出錯。究其原因在於對於“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現問題。這種方法通常成為不完全歸納。不完全歸納法的特點是結論所斷定的範圍超出了前提所斷定的範圍，結論的知識往往不只是前提已有知識的簡單推廣，而且還揭示出存在於無數現象之間的普遍規律性，給我們提供全新的知識，尤其是科學的普遍原理。人們要認識周圍的事物，首先必須對事物的現象進行大量的觀察和實驗，然後根據觀察和實驗所確認的一系列個別事實，應用不完全歸納法由個別的知識概括成為一般的知識，從而達到對普遍規律性的認識。所以，不完全歸納法在探求新知識的過程中具有極為重要的意義。

數學對歸納的完全性是要求十分嚴格，其意義不僅對所有的自然科學是重要的，而且對人文社會科學也是重要的。借鑑數學思維的嚴格性，可以大大提高社會科學學科的科學性。以例帶證的方法屬於不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會科學學科還是按照這種方式來解釋其命題，科學性顯然要遭到質疑。

17世紀弗蘭西斯培根（Francis Bacon）在總結近代實驗科學方法的基礎上，提出了與簡單列舉歸納法相區別的“三表法”，它屬最初表述的消除歸納法。同世紀的惠更斯進而提出了假說演繹法。並指出用其結論證實假說時。可能達到僅遜於完全確實性的一個機率度。19世紀詹姆斯穆勒（James Mill）繼承弗蘭西斯培根（Francis Bacon）的傳統，提出了探求因果聯絡的五種歸納方法。同期的休厄爾對歸納方法的發展做出了貢獻。

介於19世紀和20世紀的皮爾士把歸納方法的研究引向了現代歸納邏輯的方向。他把歸納法區分為三種：粗陋歸納、質地歸納和量的歸納。從而指出了歸納的發展方向。他指出粗陋歸納的結論是全稱假說。而非統計假說。它在日常生活中有用，而在科學中不起作用。質地歸納相當於假說演繹法，具有更大的用途。量的歸納是由已被觀察的某些屬性在一個樣本中的分佈，推出關於這些屬性在較大總體中的相對分佈的假說．它的結論是關於經驗類的個別分子將有某一屬性的機率的陳述。這是科學中應用的歸納方法。量的歸納真正具有“自我糾正”的功能，從而使我們所假定的估計將越來越接近於真的數值。

二、邏輯思維的代表：演繹

邏輯思維（Logical Thinking），也稱“抽象思維（Abstract thinking）”或“閉上眼睛的思維”，是一種符合某種人為制定的思維規則和思維形式的思維方式。

邏輯思維的特點是：確定無疑而非模稜兩可；前後一貫而非自相矛盾；有理有據而非主觀臆想。在邏輯思維中，要用到概念、判斷、推理等邏輯形式和比較、分析、演繹、歸納等方法，而掌握和運用這些思維形式和方法的程度，也就是邏輯思維的能力。

演繹是科學嚴謹的，但是發現不了新的東西；歸納不是嚴謹的，但能發現新的東西，因此，有時候，需要用科學歸納法。當歸納具有完全性時，其方法可以說屬於邏輯的範疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。

演繹思維最早來自幾何學，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學的地位。實際上，一門學科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標誌的。數學的這一特點是與它極強的邏輯性和抽象性緊密聯絡在一起的。

演繹法是個別事實與一般情況下通用的規律來預測結果的方法，就是由「因」推匯出「果」，由一般推匯出特殊的思維方式。

例子：函式概念的演變過程。

17世紀：冪函式（多項式）的代名詞。

18世紀：表示式（初等函式）。尤拉給出了y=f（x）的表示。

初等函式——非初等函式（級數、積分表示）——解析表示式（一個式子）——分段函式（偽函式，柯西引入了“對應”術語，但還是解析式子）——Dirichlet（狄利克雷）函式：

雖然這個表示式是認為構造的，帶有主觀性質，但它卻推動了人們對函式本質的客觀認識。這也反映了認識論中的基本內涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同於主觀構想。科學需要主觀構想的。

Dirichlet函式——對應規則（何為對應？）——有序對（x，y） （新概念）——集合函式（泛函）——廣義函式（δ函式）——……上述過程實際上就是演繹思維弱抽象的例子。

演繹法中最常見的是三段論法，即大前提 —— 一般規律；小前提 —— 個別事實；結論 —— 可預測結果。演繹法最經典的例子是大家熟知的亞里士多德三段論，“所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死”。

演繹法是邏輯思維的基礎，如果沒掌握好，所有想法和觀點都是扯淡，整個言論就會像豆腐渣工程，經不起推敲，一推就倒。。。，比如那些層出不窮的“神邏輯”。例如“神邏輯”：“你別看 XXX 捐了多少錢，他只是為了逃稅/圖個虛名罷了…”

為什麼會出現錯誤？演繹推理的正確與否首先取決於大前提（一般規律）的正確與否，如果大前提錯了，結論自然不會正確。只有在規律、事實與推理形式三者皆合理的前提下，推斷才能成立。

再以函式為例給出強抽象的例子。連續性問題解決後，出現了可微性問題。f（x）=|x|是連續但在0點不可微的例子。問題：連續函式至少有一個可微點？

Weiestrauss（維爾斯特拉斯）構造了一個處處連續但處處不可微的例子，

這個例子讓數學家驚歎：直觀似乎告訴我們不可能有這種函式，直觀欺騙了我們。

再以函式為例給出強抽象的例子。

連續性問題解決後，出現了可微性問題。f（x）=|x|是連續但在0點不可微的例子。

問題：連續函式至少有一個可微點？ Weiestrauss（維爾斯特拉斯）構造了一個處處連續但處處不可微的例子，函式——連續函式——不可微函式——處處連續處處不可微函式。強抽象過程。但抽象性依然很強。

三、類比法

根據兩個或兩類物件有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理。

比如，我知道小明同學來自中國，他喜歡下棋，他數學不錯；而另一位小亮同學也來自中國，也喜歡下棋，從而推斷小亮同學數學應該也不錯。

類比法可以看成是歸納法的一個特例，比如把這個例子修改一下，來了99箇中國孩子都喜歡下棋，而且數學都好，那麼得出一個結論：所有來自中國且喜歡下棋的孩子數學都好。就是歸納法了。

可以看到類比法也是不嚴密的，同樣屬於“不保真推理”。英美法律裡的判例法，就用到類比的思想——“同類案件相同對待”。突然想起很小很小的時候陪我媽看過一部印度電影“流浪者”（問孩子的爺爺奶奶輩應該都知道），劇中對主人翁是否偷東西沒有確鑿證據，但法官還是給他判了刑，其依據就是之前有過強盜的兒子是強盜的先例，所以主人翁的爸爸是賊，那麼他也應該是賊。

例如網紅考題，找規律、類比、因果關係判斷：

運用類比法，觀察1、2、3行的圖形，第一行，三個圖形都是由幾條線段和中間一個點組成，其中第三個圖形是前兩個疊加後去掉重合的線段構成的；第二行也如此；那麼，第三行，同樣具備了“圖形都是由幾條線段和中間一個點組成”這個屬性，因此我們可以推斷它的另一屬性也和前兩行相同，所以答案是4。

類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），在由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質。

類比推理，切忌生拉硬扯，如我們常說的一些諺語，比如“子不嫌母醜，狗不嫌家貧”，“蒼蠅不叮無縫的蛋”等等，都是用的類比推理，這些話真的很有道理嗎？

值得人們注意的是，在生活中使用類比時，經常會忘記了類比推理的或然性，經常把類比的結論當成了必然。甚至生拉硬扯，亂比一氣。又如談到取消戶口管制、自由遷徙問題，有人就說，那全世界為什麼不能自由遷徙？美國應該開啟國門，讓外國人自由遷入。這種說法混淆了國際關係與國內關係的不同。

再比如，對於移民到西方發達國家的一些中國人，或者經常批評中國現狀的同胞，一些人常常用一句諺語來教育他們要愛國：“子不嫌母醜，狗不嫌家貧。”但這種思維是有問題的，這個推理是站不住腳的，孩子和狗是兩回事情，國民和狗之間的差別則更大。狗不嫌家貧和母子關係、國家與人民的關係沒有什麼可比性，硬把他們歸在一類，其實是生拉硬扯。再者，醜和貧都是沒有道德內涵的詞語，如果是一個虐待兒童的惡母呢，還能要求孩子愛她嗎？如果養狗的是一個殘忍無情的屠夫呢，狗難道不能嫌嗎？

在我們的生活中，很多流傳久遠的成語、諺語都是用類比的方式。如“無風不起浪”、“蒼蠅不叮無縫的蛋”等等，這些說法同樣是有問題的，是不能把它們當成真理的。無風也會起浪，印度洋海嘯的浪大吧，不是風引起的；蒼蠅也會叮無縫的蛋，只需給蛋抹上狗屎就行了，許多人正是透過造謠生事來詆譭別人的。

數學的抽象方法很多，需要學習和實踐逐步加深瞭解，在你領會的同時，抽象思維能力就得到了加強和提高。需要說明的是，邏輯思維是抽象思維，但抽象思維不一定是邏輯的。數學的邏輯性特點使得數學訓練直接有利於發展人的邏輯思維，其作用特別突出。因此在平時數學學習中加強數學思維發展，強化邏輯思維能力，別讓你的孩子成為潛在差生