不等式是高中數學的重要知識點，也是比較令人頭疼的考點。這篇文章梳理以下基本知識點和常用解題技巧。不等式主要有3類：

（1）均值不等式

（2）柯西不等式

（3）權方和不等式

均值不等式是基礎，柯西不等式是進階，權方和不等式是昇華。這篇文章先從基本的

均值不等式

講起。

一、均值不等式的基本形式

以上不等式，當且僅當a = b時取等號。第三個不等式鏈條從左到右依次是調和平均數≤幾何平均數≤算數平均數≤平方平均數。

上述不等式均可以向多維變數進行擴充套件。

不等式應用時要注意

七字真言

：一“正”、二“定”、三“相等”，即變數是正數，和或積為定值時才能取等號。

二、均值不等式解題技巧

配湊法，透過配項或調係數，達到定和或定積的條件，進而運用均值不等式

例1 求函式

的最小值。

分析：函式是和的形式，但積不是定值，需要配湊。

解：

當且僅當

，即

時取等號。所以y的最小值是

。

習題1：若函式

（）（答案：3）

習題2：已知

，求

的最小值。（答案：8）

⭐習題3：求

的最大值。（答案：

）

2。分裂法，通等式變形構造出均值不等式的應用條件。

例2 設x>-1，求函式

的最小值。

解：由x+1>0可得

當且僅當

，即x=1時取等號，所以y的最小值為9。

習題4：已知

，求

的最大值。（答案：-4）

習題5：已知

，求

的最小值。（答案：3/2）

3。妙用常數

例3 已知

，求x+y的最小值。

解：

當且僅當

時取等號，所以x+y的最小值為

。

例4 已知正數

解：

當且僅當

，即

時取等號。

在配用常數時，一定要注意

化齊次

，看下面這個例題。

例5 已知正實數

此處直接乘（x+y）是做不下去的，會出現非齊次項。事實上，原式中x/y已經是其次項，處理中避開該項即可。易求得答案

。

習題6：已知

（答案：

）

習題7：已知

（答案：

）

習題8：已知正數

（答案：36）

4。待定係數法，難以直接確定配湊項的，可以用待定係數法確定拼湊項

例6 已知實數

，求x+y的最小值。

解：設

，求得

利用常數易求最小值為

。

5。消元法

例7 已知正實數

解：由

可得

，所以

。

習題9：已知正實數

（答案：25）

6。同時出現x+y和xy，求哪個則保留哪個

例8 已知正實數

解：

，當且僅當x=y時取等號。

令

，則

同理，求xy的最值時保留xy

，，當且僅當x=y時取等號。

令

，

習題10：已知正實數

（答案：

）

7。齊次化法

在前面妙用常數法的時候講到要注意齊次問題，實際上對於已經齊次的式子，可以設法降次處理。

例9 若不等式

對滿足

恆成立，求實數c的最大值。

解：由題意知

恆成立，右側是齊次式，設

=

當且僅當

時取等號。

因此c的最大值為

習題11：已知

（答案：

）

習題12：若

（答案：

）

8。關於輪換對稱式

例10 已知正實數

分析：容易發現關於a，b，c的不等式是輪換對稱式，等號成立的條件是a=b=c=1/3。因此應拼湊

證：

三式相加即可得證。

例11 已知正實數a，b，c，求證

分析：易知輪換對稱式在a=b=c時取等號，此時有

，應構造

使得

取等號，求得

證：

，同理

，

三式相加即可得證，當且僅當a=b=c時取等號。

最後，看一道2022年數學高考真題。

【2022 全國卷】已知a，b，c均為正實數，

，證明：

（1）

；

（2）若

，求證

標準答案採用柯西不等式，其實使用均值不等式也可以做。

證明：（1）

當且僅當a=b=2c時取等號。

∵a，b，c是正數，∴

。

（2）若b=2c，

，當且僅當a=b=2c時取等號。

三、總結

1。牢記均值不等式的前提條件：一正、二定、三相等，在多個不等號串聯的情形下尤其要主義取等條件。

2。需要掌握一定的變形技巧，創造條件應用不等式。