數學在自然科學中不合理的有效性

1959年5月11日在紐約大學Courant數學科學講座上的講演

作者：尤金·維格納

翻譯：鮑永成  校對：袁向東

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哲學園鳴謝

作者簡介：

尤金·維格納（Eugene P。 Wigner）美國物理學家。1902年生於匈牙利。提出原子核吸收中子的理論，並且發現在放射作用（即“維格納效應”）下固體改變其大小。曾設法讓愛因斯坦告誡富蘭克林·羅斯福總統，德國人可能在製造原子彈。與恩利克·費米一起研製第一座原子反應堆。1963年獲諾貝爾物理學獎。

維格納

很可能，還有另外一些秘密尚待去發現。

——C。S。Peirce

上述兩個故事引出的兩個要點正是本講演的主題。

第1個要點是，

數學概念在完全出人意料的聯絡中出現。進而，在描述這些有聯絡的現象時它們常常具有出乎意料的切合性與精確性。

第2，

正因為這一事實，以及我們尚無法理解的這種有用性的原因，所以我們還無法知道用數學概念表述的理論

是否是唯一合適的理論。

我們現在的這種處境有些類似手中拿到了一大串鑰匙的人，他必須依次開啟一連串房門，而他總是隻試一兩個就碰到正確的鑰匙而把門打開了。

於是他懷疑起是否真的一把鑰匙開一把鎖。

有關這些問題所要講的內容，多數並不是什麼新東西；大多數科學家都可能以這樣或那樣的方式想到過。我主要的目的就是從幾個不同的側面予以說明。

第1點，

即數學在自然科學中廣泛的有用性近乎神秘，現在還沒有合理的解釋。

第2點，正是數學概念的這種不可思議的有用性，引出了我們的物理學理論是否具有唯一性的問題。

為了確認第1點，即數學概念在物理學中起著不可思議的重大作用，有必要來談談：

“什麼是數學？”，

以及

“什麼是物理學？”；

然後，探討一下

數學是怎樣進入物理學理論的；

最後討論

數學在物理學理論中扮演的成功角色為什麼看起來令人困惑不解。

關於第2點，即物理學理論的唯一性問題，我們將講得很少。要適當地回答這個問題需要進行精心實施的實驗和理論研究，而這些工作至今還沒有著手進行。

原題：The Unreasonable Efectiveness of Mathematics in the Natural Sciences。譯自lComm。on Pureand Applied Mathematics，Vo1。XIII（1960），No。1，p。1—14。作者E。P。Wigner（維格納）是1963年諾貝爾物理學獎得主之一。

1）這個評論是F。Werner在Princeton大學當學生時引用過的。——原注

什麼是數學？

有人曾認為哲學就是濫用術語，而術語就是為此目的編造出來的。1）仿此，我說數學就是精巧地操作概念和規則的科學，概念和規則就是為此目的而創造出來的。重點在於概念的創造。

（老蟬注：看到這裡，老蟬大致猜到維格納的思想觀念了——-他認為數學是發明的，而非發現的，也明白了他為什麼會對數學在自然科學中驚人的適配性和準確性驚呼：這不合理！哈哈，且看下去，看看我的猜測是否準確）

如果數學中的定理必須靠公理中已有的概念來建立，那麼數學中有趣的（重要的）定理很快就會枯竭。另外，初等數學概念，尤其是初等幾何的概念，它們用來描述直接由現實世界提示的實體，這無可置疑是真實的；與此相反更加高階的概念，特別是那些在物理學中有重大作用的概念，表面看來似乎無真實性可言。你看，針對一對對（整）數制定的運算規則顯然已被指定用來計算我們剛剛學到的分數，並期望能給出同樣（正確）的結果，而不去計較它們是否是“一對對的（整）數’’序列的運算規則，即無理數的運算規則，仍屬於已確定的運算規則的範疇，這樣便一次次地產生了我們已知的各種量的運算規則。

大多數更高階的數學概念，例如複數、代數、線性運算元、Borel（博雷爾）集——這種例舉幾乎可以無限地繼續下去——被同樣設想出來，這些論題恰當地顯示了數學家們的發明想象力和對形式美的判斷力。

（老蟬注：這裡維格納理解數學家提出的概念是數學家設想出來的，是發明出來的。但一位信奉柏拉圖主義哲學的數學家，會認為概念並非是數學家發明的，而是由數學家的直覺對數學實在的感知而直接在腦中反應出來的，是一種對數學實在的發現。哥德爾的“概念實在論”是一個典型。）

事實上，這些概念的定義，以及可以在它們身上施展的精巧而有趣的種種設想，是定義它們的數學家聰明才智的第一個明證。形成數學概念的深刻思想還在概念的應用中再次得到證實。

偉大的數學家總是完全地、近乎毫不留情地利用了種種允許的推理並繞過不允許的推理。他不顧一切的推理沒有陷入自相矛盾的泥潭本身就是一大奇蹟：透過Darwin（達爾文）、自然選擇的過程，我們的推理能力達到了所能達到的完美無缺的水平，這簡直難以置信。

不過，這不是我們目前討論的議題。我們後面還要提到，首要的一點是，數學家們如果不在公理所蘊涵的概念之外再定義概念，他們只能建立起少量的有趣的定理，而超越公理範圍之外的概念是按照允許進行巧妙的邏輯運算的目的定義出來的，無論其運算還是結果的普遍性和簡單性，都訴諸於我們的審美意識。2）

（老蟬注：維格納師從波蘭尼，但老蟬認為他可能沒有理解波蘭尼“默會知識”的直覺性。公理的產生都是建立在人類的直覺之上的，人類的直覺也有層次之分，有天分的人他的直覺總是已於常人的。而數學就是在這些天才的直覺的發現中得以建成其輝煌大廈的。）

複數的提出為上述觀點提供了一個特別引入注目的例證。毫無疑問，在我們的經驗中，沒有什麼東西暗示我們要弓進這些量。確實，如果一位數學家被問及為什麼會對複數感興趣，他肯定會有點憤怒，並向你指出一大堆方程論、冪級數理論和更一般的解析函數理論中的漂亮定理，而它們皆起源於複數的引入。數學家們不情願放棄對這些顯示他們天才能力的最美妙傑作的興趣。3）

I）引自W·Dubislav的Die Philosophieder Mathematikinder Gegenwant，Junkeruhd Dunnhaupt Verlag，Berlin，1932，P。1。——原注

2）M。Polanyi在他的Personal Knowledge（University of Chicago Press，1958）一書中說道l“所有這些困難都不過是我們拒絕看到如下事實的結果i如果不承認數學最明顯的特徵即它很有趣。那數學就不能被明確地限定。”——原注

3）關於這一點。讀者也許會對Hilbert關於直覺主義的那句氣話感興趣。他說直覺主義是“想破壞和玷汙數學’’，Abh。Math。Sem。Univ。Hamburg，Vo1。157，1922，或見Gesammelte Werke；Springer，Berlin，1935，P。188。——原注

老蟬總結：

從“什麼是數學”這一節可已看出，很明顯，作者持有一種非數學實在論的觀點：認為數學是發明的，而非發現的，數學是一種技巧，是數學家為了追求一種數學美而發明出來的智力遊戲。老蟬完全不同意這種觀點。

《圖靈數學史套裝》

《最後的數學問題：上帝是數學家嗎？》

《數學那些事：偉大的問題與非凡的人》

《代數的歷史：

人類對未知量的不捨追蹤

》

《不可能的幾何挑戰：數學求索兩千年》

《悠揚的素數：二千年數學絕唱黎曼假設》

《春夜十話：數學與情緒》

《我只會算術：小平邦彥自傳》

什麼是物理學？

物理學家對探索非生命的自然界的各種規律抱有興趣。為理解這一說法，有必要先分析“自然規律”這一概念。

我們周圍的世界有著令人難以理解的複雜性，一個最為明顯的事實是我們不能夠預測未來。儘管針對樂觀主義者開的一個玩笑是說他們也認為未來是不確定的。但恰恰在這點上，樂觀主義者們對了：未來是不可預測的。令人驚奇的是——正如Schrolinger（薛定諤）指出的那樣。雖然世界難以理解、錯綜複雜，我們確能發現某些事件的確定的規則。有一種規則是由

Galileo

（伽利略）發現的，即在相同高度同時下落的兩塊石頭，它們同時到達地面。自然規律所關心的就是這些規則。Galileo的規則是一大類規則的早期典型。它是一條令人吃驚的規則，理由有三。

一、驚人的理由之一是，

它不僅在伽利略（Galileo）時代、在義大利比薩城是真實可靠的。而且在地球的其他任何地方也是真實可靠的，無論過去或將來都永遠是真實可靠的。這條規則的這種性質是一種已被公認的具有

不變性

的性質，正如我前不久指出的那樣，沒有類似於Galileo所作觀察的早期歸納所得的那種

不變性原理

，物理學就不可能存在。

第2個令人驚訝之處是，

我們正在討論的這種規則

獨立於

能對其施加影響的種種條件-

——

無論下雨與否，無論實驗是否在室內還是在斜塔上完成，也無論拋落石塊者是男是女，它總是成立的。甚至拋落石塊者是兩個不同的人，只要在同一高度同時落下石塊它照樣成立。很明顯，還有無數多個無關緊要的條件存在，它們都不影響Galileo規則的有效性。這麼多有可能對現象的觀測起作用的環境因素的無關性，也被稱作一種不變性，這種不變性與上述的不變性具有不同的特徵，因為它不可能表述為一般的原理。對影響或者不影響一種現象的各種各樣的條件的探索，只是在一個領域內進行早期實驗性探索的一部分。正是實驗者的技巧和匠心獨運，能向他展示出這樣一些現象，它們依賴於一組很有限的而且易實現和重複的現象。1）在目前這個例子中，Galileo把觀察限定在對較重物體的觀測是最重要的一步。另外，

如果沒有這樣的現象存在——它們除很少幾個可控條件外跟其他任何條件都無關，那麼物理學也建立不起來。

前面這兩點，雖然從哲學家的觀點看來意義非同尋常，但卻不是最使

Galileo

感到驚訝的東西，它們也並不包含特殊的自然規律。

自然規律包含在下面的陳述中，

即一個重物從一個給定的高度下落所需時間，與下落物體的大小、材料和形狀無關。在牛頓第二“定律”的框架內，上面的陳述等價於說：作用在落體上的重力正比於它的質量，與落體的大小、材料和形狀無關。

上述的討論是想提醒大家，

第1，“自然規律”的存在一點也不自然，更不必說人們能夠發現它們了

。2）本文作者不久前曾呼籲要重視“自然規律”的層次連線問題。每一層次都包含比前一層次更普遍、包羅更廣的規律，它的發現比之前已認識到的層次能更深刻地觸及到宇宙的結構［3］。然而，在目前的討論中最重要的問題是，即使考慮到它們最遠

的推論，所有這些自然規律只包括了我們關於非生命世界的知識的一小部分。

所有這些自然規律都是有條件的陳述，

容許在目前知識的基礎上作出對某些未來事件的預測；當然自然界現狀的某些方面要除外，絕大多數左右自然界目前狀態的決定性因素跟預測毫不相干。這種不相干與我們在討論Galileo定理的第2點時的意思是相同的。3）

1）關於此點，可參看M。Deutsch的生動的論文Daedalus（代達羅斯。是希臘神話中建立衷裡特迷宮的名匠。——校注），Vo1。87，1958，P。86。A。Shimony使我注意到C。S。Pe靜的—段相似的話，見他的論文Essays in the Philosophy of Science刊於The Liberal Arts 6，Newyork，1957，P。237。一原注

2）E。SchrSdinger在其小冊子whatbLife（Cambridge University Press，1945）中說過，第2個奇蹟可能超越了人類所能理解的範圍，P。31。——原注。

3）作者相信沒有必要再指出，正文中講到的Galileo定理並沒有窮盡Galileo所觀察到的所有有關自由落體的運動的內容。——原注

對於世界的目前狀態，諸如我們賴以生存和Galileo實驗賴以完成的地球的存在性、太陽及其他所有外界環境的存在性，自然規律根本無話可說。與此相協調的是，只有在異常的情況下，即在左右自然界目前狀態的所有決定因素已知的情況下，才能預測未來。同樣與此相協調的是對機器的詮釋，物理學家能預見它的功能，這成為物理學家們最引人注目的成就。在這些機器中，物理學家創造了這樣的局面，

使全部相關的條件都是已知的，這樣就能夠預測機器的行為。

雷達與核反應堆都是這類機器的例子。

上述討論的主要目的是想指出，

自然規律都是有條件的陳述，它只涉及我們關於自然界知識的一小部分。

因此，眾所周知的物理學理論的原型——經典力學，只是基於物體自身的位置等知識，給出所有這些物體位置座標的二階導數。它不能給出這些物體的存在、其瞬時位置或速度的任何資訊。為準確起見，應該指出30年前我們就已知道，

即使有條件的陳述也不是完全精確的：這些有條件的陳述是些或然性規律，我們只能依賴對現在狀態的知識，用智力在非生命世界未來的性質上押賭注。它們不容許我們作絕對明確的斷言，甚至也不容許作出以目前狀態為前提的明確斷言。

“自然規律”的或然性質本身也顯示在機器的情形，至少在核反應堆工作在非常低的能量水平時可以驗證。不過，在自然規律範圍內由或然性引起的附加限制在餘下的討論中不起作用。1）

老蟬總結：

同意作者對物理學的理解。

數學在物理學理論中扮演的角色

清理過我們對數學和物理學本身的看法後，我們就可以更好地來探討數學在物理學理論中的作用了。

自然，我們在日常的物理工作中的確利用數學來計算自然規律引出的結果，把有條件的陳述運用到恰好要我們關心或使我們感興趣的特殊情況之中。為了達到上述目的，自然規律必須已經用數學語言加以表述。然而，對已有理論的因果關係進行數值表示並不是數學在物理學中最重要的作用。數學，或更確切地說，應用數學的這種功能，在此情況下並不占主導地位，它僅僅作為一種工具而已。

（老蟬注：這是傳統物理學家的理念，而近幾十年的物理學，如玄論，數學已經不僅僅只是工具而已，它本身即是物理學了，當然反對玄論的人另當別論）

然而，數學在物理學中也還

起著領袖般的作用

。這已經隱含在討論應用數學的作用的陳述中了，即

自然規律必須已經用數學語言表達出來，成為應用數學研究的一個物件。

用數學語言表達自然規律的宣言在300年前就已經以恰當的方式問世了；3）現在它比以往任何時候都更為真實可信。為闡明數學概念在建構物理規律過程中的重要性，作為例子讓我們回憶一下偉大的數學家Von Neumann（馮·諾伊曼）明確地表述，或者如偉大的物理學家Dirac（狄拉克）含蓄地表述的量子力學公理。量子力學有兩個基本的概念：

態和可觀測量

。態是Hilbert（希爾伯特）空間的向量，可觀測量是作用於這些向量的自伴

運算元。可能的觀測值是這些運算元的特徵值——我們就此打住，以免去列出線性運算元理論中的種種數學概念。

1）例如可參見E。Schrodinger的參考文獻【1】。——原注3）這要歸功於Galileo。——原注

當然可以肯定，

物理學只選擇一部分數學概念來表述自然規律，也可以肯定，全部數學概念中只有一部分被物理學所用。

同樣有把握的是，被物理學選用的概念並不是從一連串數學術語中隨意挑出來的；在許多情況下（如果不是大多數的話），

它們都是物理學家獨立發展起來的，過後才認識到數學家在之前就構想出來了。

不過，不像經常談論的那樣，這種巧合是因為數學使用的是最簡單的各種可能的概念，因而一定會在任何其他形式化的事物中出現。正如我們已經看到的，

數學概念並非由於其概念的簡單性才被物理學所選中——甚至數對的序列也遠不是簡單的概念——而是它們服從於巧妙的運算操作，服從於惹人注目的、鮮明的論證。

我們不要忘了量子力學的Hilbert空間是具有Hermite（埃爾米特）純量積的復Hilbert空間。肯定地說，對那些非全神貫注（於數學）的人，複數遠不是自然簡單的，它們不能由物理觀察提示出來。此外，這一舉例中對複數的使用並不是應用數學中只作計算用的雕蟲小技，而是在量子力學規律的系統表述中不可或缺的概念。最後，現在已開始顯露出不僅僅是數，而且還有所謂的解析函式，都必定要在量子理論的系統表述中起決定性的作用。我這裡指的是頻散關係理論的迅猛發展。

我們在這兒很難避免這樣的印象：我們遇到了奇蹟。它惹人注目的性質跟以下的奇蹟是相當的：人類心靈能把上千個論證串在一起而不自相矛盾；還有，自然界居然存在規律而人類的心靈居然有能力（憑直覺）推測出它們。

解釋數學概念在物理學中突然而至這一現象的最切近的評論，就我所知，是Einstein（愛因斯坦）的論述；

唯有那些我們欣然接受的物理學理論，是美的理論。

這就要求我們來論證，吸收了那麼多智力活動的數學概念具有美的品質。不過，Einstein的觀察至多能夠解釋我們所樂意相信的那些理論的一種性質，而談不上是對理論內在準確性的解釋。為此，讓我們轉到下面這個問題上來。

物理學理論的成功真的令人意外嗎？

物理學家採用數學來系統表述他的自然規律，一種可能的解釋是他們多少有些不負責任。

（老蟬注：維格納真風趣）

因此，當他發現兩個量之間的關係類似數學中已廣為人知的某種聯絡時，他就會匆忙得出結論說，這種聯絡就是在數學中已討論過的那種。理由很簡單，他不知道任何其他類似的聯絡。現在的討論不打算對指控物理學家有些不負責任的說法予以反駁，也許他們就是這樣的人。不過，指出下列事實是重要的，

物理學家的經常是很粗糙的經驗，一經數學的系統表述，便匯出了出乎意料的各種案例，能異常準確地描述一大類現象。這表明，數學語言不僅僅是一種我們能夠說出來的獨特的語言，而且是真實意義上的正確的語言。

（老蟬注：這完全正確，維格納敏銳地觀察到這一點，因此，很有可能一個具備二流物理知識的一流數學家會在其蹩腳的物理經驗上用它一流的數學做出一個真的自然律。）

讓我們來看幾個例子。

第1個例子是經常被引用的行星運動。

主要依靠在義大利所完成的實驗，落體運動規律被相當好地建立起來了。從我們今天所理解的精確性來講，這些實驗並不很精確，部分原因是有空氣阻力的影響，部分原因是那時還不能測出極短的時間間隔。但不管怎麼說，作為他們研究的一個結果，義大利的自然科學家們熟悉了物體在大氣層中的運動方式，這一點是毫不奇怪的。後來，正是牛頓把自由落體定律與月亮的執行聯絡起來，他注意到地球上拋物體的拋物線路徑和天空中月亮的圓形路徑都是同一數學物件橢圓的特例，並根據一個在那時看也完全是近似的數值方面相符的結果，提出了萬有引力定律。

從哲學上講，牛頓用公式表述的萬有引力定律跟他的時代及他本人都是不協調的。從經驗上講，這個定律所依據的觀測極為不足。

用於表述的數學語言包含了二階導數的概念，而曾試圖畫曲線的密切圓的人都明白二階導數並不是一個直截了當的概念。牛頓勉強建立起來的、他自己證實只有4％精確性的萬有引力定律，現在已被證明其精度高於百萬分之一。這變得與絕對精度的思想緊密相連，以至於最近，物理學家自負地研究起精度的極限來了。1）

當然，被反覆引用的牛頓的定律這個例子，人們首先必定提及它是用數學家看來很簡單的術語表述的，其精確度業已證明超出了所有合理期望的自然規律的不朽傑作。

讓我們再就這個例子扼要重述一下我們的論點：

首先

，這一定律，特別是其中出現的二階導數，僅僅對數學家來講是簡單明瞭的，從公眾常識的角度看，或對沒有數學頭腦的新手來講，它並不簡單。

第2，

它是在非常有限範圍內的、有條件的定律。它對吸引Galileo的石塊的地球沒給出任何解釋，也沒說明月亮的軌道為什麼是圓形的，同樣也沒闡明太陽的其他行星的情況。這些初始的環境與條件留給了地質學家和天文學家去解決，這對他們來說是非常困難的。

第2個例子是普通的初等量子力學。

它源於Max Born（玻恩）注意到Heisenberg（海森伯）提出的一些運算規則，它們與數學家早已確立的矩陣運算規則在形式上完全一致。從而Born，Jordan（若爾當）和Heisenberg提議用矩陣代替經典力學方程中的位置變數和動量變數。

他們把矩陣力學的法則運用到幾個高度理想化的問題上，結果相當滿意。然而，在那時並沒有合理的證據證實，在更實際的條件下可以證明他們的矩陣力學是正確的。

的確，他們說道：“不知這裡提出來的力學是否就其本質特性來講應該就是正確的。”事實上，他們的力學第一次用於實際問題，是幾個月後Pauli（泡利）針對氫原子做出來的。應用的結果與實驗一致。這是令人滿意也是可以理解的。因為Heisenberg的計算法則就是從包含氫原子的老的理論問題中抽象出來的。

只有在矩陣力學或其數學上等價的理論被用到Heisenberg的計算法則無能為力的問題時，奇蹟才會出現。

Heisenberg的法則預先假設經典運動方程的解具有某種週期性質；氦原子中兩個電子的運動方程，或者更重一些的原子的有更多電子的運動方程根本不會有這種性質，因此Heisenberg的法則不適用於這些情況。儘管如此，Cornell（康奈爾）大學的Kinoshita和美國標準局的Bazley（貝茲利）幾個月前完成了有關氦原子最低能級的計算，在觀察精度內，即千萬分之一以內，與實驗值相符。在這一案例中，我們可以有把握地說，從這些方程中“得到了”我們並沒有放進方程的東西。

同樣可靠的事也發生在較重原子產生的譜——“複雜譜”的定性特徵上。我想回憶與Jordan的一次談話。他告訴我，在譜的定性特徵推匯出來後，由量子力學理論匯出的規則跟由實驗研究建立起來的規則不符，這就提供了在矩陣力學框架內進行最後一次改變的機會。換句話說，Jordan覺得，要是在氦原子理論中出現意料之外的不符，那我們至少在短時間內是毫無辦法的。那時，Kellner（凱爾納）和HiUeraas（希勒拉斯）得出了這種不符。數學的形式主義是那麼清晰和不可變更，如果上面提到的氦原子的奇蹟不發生，

那麼真正的危機就會發生。毫無疑問，物理學終究能以這種或那種方式克服危機。另一方面，如果不是總有類似氦原子似的奇蹟重現，真的就不會有今天的物理學了；氦原子的情況也許是初等量子力學發展程序中最為惹人注目的奇蹟，當然並不是唯一的一個。事實上，在我們眼中類似的奇蹟的數目很有限，究其原因，僅僅在於我們只樂意追求那些特別類似的奇蹟之故。不管怎麼說，量子力學所具有的許許多多幾乎同樣惹人注目的成功使我們確信，它正如我們所認為的那樣是正確的。

1）例如可參見R。H。Dicke（迪克）的AmericanScientist，Vo1。25，1959。——原注

最後一個例子是量子電動力學，或者說Lamb（拉姆）移位理論。

跟牛頓的萬有引力定律仍舊與經驗有明顯的聯絡不同，經驗只能透過精煉昇華過的Heisenberg規定的形式才能進入矩陣力學的系統表述。比較之下，

Lamb移位量子理論是一種純粹的數學理論，

它由Bethe（貝特）所構想併為Schwinger（施溫格爾）所建立。

實驗的直接貢獻在於顯示可測量效應的存在性。實驗與理論計算相符程度優於千分之一。

上述3個例子（例子幾乎可以無限地增加下去）應該說已闡明瞭如下觀點：

按照可操作性（原則）選擇的數學概念所表述的自然規律，其數學表述是適當和準確的，“自然規律”幾乎都有驚人的準確性又有嚴格的限制範圍。

上述例子所做出的考察結論，我把它看做是認識論的

經驗規律

。它與物理學理論的

恆定性

規律一起，成為這些理論不可或缺的基石。

沒有恆定性規律，物理學理論就沒有事實基礎；如果認識論經驗規律不正確，我們將缺乏情感所必須的鼓勵和自信，“自然規律”就不可能被成功地探索出來。

我與R。G。Sachs（薩克斯）博士討論過認識論的經驗規律問題，他將這種規律稱為理論物理學家的信條，這種說法言之有理。然而，他所稱的我們的信條都有實際例子作證來支援——除了上述3個例子外，還有許許多多。

老蟬總結：

這一節，維格納用他的三個例子循序漸進地說明了數學在物理學中驚人的適用性、準確性和預見性。在最後一個例子中，物理的“實驗性”幾乎消失殆盡。

物理學理論的唯一性

上述考察結論的經驗性質在我看來是自明的。它肯定不是所謂”思維的必然”。為了明白這一點，也不必非要指出如下事實，即它僅僅適用於我們對非生命世界知識的很小一部分。如果位置本身或速度不存在相似的表示式，就相信位置的二階導數的簡單數學表述的存在性可以不證自明，這是十分荒謬的。因此，

包含在認識論的經驗規律中的奇妙贈予那麼容易讓人認出來確實令人吃驚。

上述提到的

人類心靈能將上千個結論串列起來而使之仍然保持“正確”的能力，也是一種相類似的恩賜。

任何一種經驗規律令人不安之處是人們不知道它們的侷限性有多大。我們已經看到，我們周圍世界中的事件存在著這樣的規律性，它們可以用具有不可思議精確性的數學概念來表述。另一方面，我們又不相信有關世界的某些方面會有任何精確的規律存在。我們把這些方面稱為物理初始條件。

問題本身就提出這樣的疑問，是否不同的規則（即將被發現的各種自然規律）都將融成一個自洽的統一體。另一種可能的情況是，總存在一些自然規律，它們之間毫無共通之處。目前，這種情況的確存在。例如，遺傳規律與物理規律之間的關係。甚至還有這樣的可能，有一些自然規律與另外一些自然規律的內在含義互相沖突，但每一個規律在各自的領域內都足夠令人信服，以致我們不情願放棄其中的任何一個。我們也許會落進這種是非窩，或者對弄清多種理論之間的衝突逐漸失去興趣。

我們也許會失去對“終極真理”的興趣，那是指這樣的圖案：在自然界不同方向形成的小的圖景，融合成一個統一的整體圖景。

用一個例子來說明這種二者擇一的情形可能會有所助益。

物理學中，我們現在有兩個強有力而且有趣的理論：

關於

量子現象的理論和相對論。

這兩種理論植根於互相排斥的現象類中。相對論適用於宏觀物體，如恆星。在碰撞的元素分析中的同時性事件，是相對論中的基本事件，確定了時空中的一個點，至少在相互碰撞的粒子無限小時是這樣。量子理論植根於微觀世界，從它的觀點看，同時性事件或碰撞事件，即使在沒有空間外延的粒子間發生，也不是基本的，更談不上在時空中單獨分離出來。

兩種理論分別運用不同的數學概念：四維Riemann（黎曼）空間和無限維Hilbert空間。迄今為止，兩種理論尚未統一，即沒有一種數學表述對兩種理論都同時近似成立。所有的物理學家都認為兩種理論的內在統一是可能的，我們可以找到這種表述。儘管如此，也還是可以設想，找不到這兩種理論的統一體。這個案例說明上述提到的兩種可能性：統一或是對抗，都是可以設想的。

（

老蟬

注：確實，時值今日（此文寫於1959年），相對論與量子力學還未統一。自然界的四種基本力，在標準模型中統一了三種：強力、弱力及電磁力，引力還未成功。）

為了獲得最終會選擇哪一種可能性的啟示，

我們可以假設我們比目前實際情況無知一些，

（老蟬注：很有必要，但目前的一些科學主義者持有的一種傲慢與偏見是對科學的損害）

我們的知識比目前實際的水平差些。如果我們在這個較低的智力水平上能使這兩種理論融為一體，我們就有自信在我們實際的智力水平上找到這種融合。另一方面，如果我們在較低的智力水平上得到了理論是相互矛盾的結論，那就不能排除對我們而言，相互對立的理論將可能永久地持續下去。知識和獨創能力的水平是一個連續的變數，這種連續變數的一個相對小的變動能把不自洽的世界圖景變為自洽的圖景，這是不太可能的。1）

1）撰寫這段文字頗感躊躇，作者確信從認識論角度放棄如下觀點是有益的：人類智力從絕對尺度上說佔有獨一無二的地位。在某些情況下，甚至去考慮處於其他物種的智力水平上可能取得的結果也是有益的。不過，作者也認識到，沿著正文中提到的思路所作的思考太簡略，且沒有提出足夠中肯的評價，以致結論尚待斟酌——原注

（老蟬注：哈哈，作者這個想法腦洞開啟啊！不過，老蟬挺喜歡。）

從這個觀點看，我們明知是假的某些理論卻給出了驚人準確的結果這一事實是不利的因素。假如我們略微無知些，則這些“假”理論所解釋的現象類在我們看來已大到足夠“證明”它們是正確的了。不過，這些理論被我們確定為“假”理論，其原因正好是在元素分析中，它們與範圍更廣的圖景不相一致。如果足夠多的這種假理論被發現出來，則必定會證實它們之間有衝突。與此類似，某些被我們認為已經有足夠多的資料‘證實”的理論可能是假的，因為它們可能與範圍更廣的理論有衝突，後者我們尚缺乏工具或手段去發現它。如果這種情況真的發生了，那麼一旦它們的數量超過某一個數字，涵蓋了足夠大的現象類，我們就將看到這些理論之間的衝突。

對照上述理論物理學家的信條，這不啻是理論家的夢魘。

讓我們從虛假性這一視點來看看幾個能驚人準確地描述幾類現象的“假”理論的例子。由於某種善良的動機，人們可以駁斥這些例子提到的某些證據。

Bohr（玻爾）早年開創性的關於原子的思想的成功，與Ptolemy（托勒密）的週轉圓（epicycle）概念一樣，總是相當狹隘的。我們目前的優勢在於給出了這些初等理論所能描述的所有現象的精確描述。而對於所謂的自由電子理論，情況則大不一樣了。它極為精確地描述了金屬、半導體和絕緣體的不說是大多數，也是許多的性質。特別是，它解釋了按“現實的理論’無法恰當理解的絕緣體電阻特別大，可以是金屬電阻的10^23倍這一事實。事實上，在與自由電子理論預言絕緣體電阻值為無窮大相同的條件下，沒有實驗證據表明絕緣體的電阻肯定不是無窮大。儘管如此，我們確信自由電子論只是一種粗糙的近似，應該被更精確的圖景來替代，用以描述涉及固體的所有現象。

如果站在我們具有真正優勢的地位來看，自由電子理論所造成的局面是令人沮喪的，但它不像是在預示我們說：將出現我們不能克服的前後矛盾的局面。自由電子理論提出了這樣的疑問：我們應在多大程度上把理論和實驗的數值相符作為理論正確性的標準！我們已習慣於這種疑問了。

假如有一天，我們能建立起一種涉及人類意識或生物學現象的理論，並且要像我們在關於非生命世界的理論一樣首尾一致和令人信服，則將出現更困難和更令人困惑的局面。

Mendel（孟得爾）的遺傳規律以及關於基因的後續工作，也許會成為生物學範圍內這樣一種理論的起點。並且，很可能發現一種抽象的論據，證明這樣一種理論與公認的物理學原理有衝突。這種論據可能有這樣一種抽象的性質，即不可能用實驗來解決這種衝突，以確定是該喜歡這種理論還是那種理論。

這樣一種狀況，無論對我們的理論信念，還是對我們所建立的概念具有真實性的信念，都加上了沉重的負擔。

它將給我們追求我所稱的“終極真理”的努力罩上深深的挫折感。我們能夠想象出現這種局面的理由是：從根本上說，我們還不知道我們的理論為什麼會那麼管用。

因此，它們的精確性並不能證明它們的真理性和前後一致性。毫無疑問，作者的確相信，如果目前的遺傳規律和物理學規律對質的話，就會出現與上述的情景相類似的某種情景。

讓我用能使人暢快一點的註解來結束本文吧。

數學語言在表述自然規律方面的適當性是個奇蹟，它是我們既不理解又不該得到的一種奇妙的天賦之物。

我們應當感激它，希望它在未來的研究中仍然有效；並且不論是福是禍，無論是使我們高興還是使我們困惑，它將擴充套件到更廣的學術領域中去。

致謝（略）參考文獻（略）（鮑永成譯袁向東校）

《圖靈數學史套裝》

《最後的數學問題：上帝是數學家嗎？》

《數學那些事：偉大的問題與非凡的人》

《代數的歷史：

人類對未知量的不捨追蹤

》

《不可能的幾何挑戰：數學求索兩千年》

《悠揚的素數：二千年數學絕唱黎曼假設》

《春夜十話：數學與情緒》

《我只會算術：小平邦彥自傳》