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整理/凌敏

有數論學者表示，張益唐有關朗道 - 西格爾零點猜想的論文結果意義重大，使得以前的很多結果從假設性結果變成了確定性結果。

張益唐在北大作“零點猜想”學術報告

11 月 8 日上午 9 點，數學家張益唐在北京大學作“關於朗道 - 西格爾零點猜想”學術報告。張益唐表示，在本質上，他已經證明了朗道 - 西格爾零點猜想。只是像他此前關於孿生素數猜想的研究結果一樣，其結果可以被改進。最新研究突破將有很多應用，帶來很多定理。

換句話說，張益唐的最新論文表明，在特定範圍內，朗道 - 西格爾零點不存在。在這一情況下，朗道 - 西格爾零點猜想正確或成立。（郎道 - 西格爾零點猜想要回答的核心問題就是：是否存在朗道 - 西格爾零點？）

資料顯示，張益唐是加利福尼亞大學聖塔芭芭拉分校教授、山東大學潘承洞數學研究所所長、北京大學閔嗣鶴數論研究中心名譽主任、北京大學客座教授，曾在孿生素數猜想的研究中取得里程碑式的突破進展，受邀在 2014 年首爾國際數學家大會上做特邀報告，獲羅夫·肖克獎 - 數學獎、弗蘭克·奈爾森·科爾數論獎、麥克阿瑟天才獎等諸多獎項。

事實上，在張益唐之前，有很多數論專家都曾做過相關研究，但均沒有成功。

關於攻克朗道 - 西格爾零點猜想的意義和重要性，張益唐的同事、數論學家 Stopple 曾說，如果張益唐能對此作出證明，那麼加上他的上一份成就（關於孿生素數猜想的研究），在某種意義上，（其機率）就像是同一個人被閃電劈中兩次。“如果他從未成名，那麼做出這項工作也會讓他跟上次一樣被世界矚目。”

究竟什麼是朗道 - 西格爾零點猜想？為什麼張益唐的研究成果能讓數學界為之一震？

朗道 - 西格爾零點猜想

朗道 - 西格爾零點猜想的名字來源於兩位著名的數學家：朗道和西格爾。朗道是德國數學家希爾伯特在數論領域的繼承人，西格爾是朗道曾指導過的博士生，西格爾曾發現了一類特殊的函式—— L 函數理論中的西格爾零點現象。

作為數學界知名難題之一，朗道 - 西格爾零點猜想主要是想解決 L 函式是否存在異常零點這一問題，它是解決很多數論問題的瓶頸，並與已經懸置 160 多年的著名數學難題“黎曼猜想”相關。

據《中國科學報》介紹，簡單說，如果存在朗道 - 西格爾零點，那麼黎曼猜想就是錯的；如果朗道 - 西格爾零點不存在，則不會和黎曼猜想發生衝突。

也就是說，一旦證明了朗道 - 西格爾零點猜想，就可以取得很多新突破，簡化和加強很多經典數論結果。無論是哪種結果，無疑都是數學史上里程碑式的事件。

111 頁論文證明“零點猜想”

早在今年 10 月中旬，就有訊息稱“數學家張益唐已經攻克朗道 - 西格爾零點猜想”。

據悉，在 10 月 15 日北京大學大紐約地區校友會舉辦的“我的數學歷程”線上活動中，張益唐提到，他已做完朗道 - 西格爾零點猜想相關工作，將於 11 月初發表論文。“我最近在數學上又作出了一個應該說是很大的成果。可以說是弱一點的形式，但本質上已經是解決了朗道 - 西格爾零點（猜想）問題。解析數論的同行會知道，這個問題的解決，可能比孿生素數猜想的意義更大。”

11 月 5 日，有訊息稱張益唐攻克朗道 - 西格爾零點猜想的論文已完成。11 月 7 日，該文論在 arXiv 上正式對外公開。網站資訊顯示，該論文提交時間為 2022 年 11 月 4 日。據悉，該論文的標題是《離散均值估計和朗道 - 西格爾零點》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel Zero），共 111 頁，由 18 個部分組成。

據山東大學官微報道，11 月 5 日，張益唐教授曾面向山大師生作了一場關於朗道 - 西格爾零點猜想的線上學術報告，張益唐教授在報告中首先介紹了朗道 - 西格爾零點，以及它與算術級數中素數分佈的關係。

張益唐教授從狄利克雷 L- 函式和黎曼 zeta 函式講起，介紹它們在算術級數中的素數分佈和素數定理中的作用。隨後，張益唐教授介紹了他在朗道 - 西格爾零點猜想研究方面的創新思想。張益唐教授在最新預印本論文裡證明了，模 D 的實原特徵 L- 函式在區間

內沒有實零點，這裡 c 是絕對實效正常數。如果把這裡的 2024 換成 1，就得到原始形式的朗道 - 西格爾零點猜想。2024 雖然大於 1，但在數學意義上，與 1 並沒有實質性的差別。

也就是說，在這一區間內，朗道 - 西格爾零點不存在。

早在 2007 年，張益唐就曾做過朗道 - 西格爾零點問題的研究。

2007 年，張益唐在 arXiv 上刊發了“On the Landau-Siegel Zeros Conjecture”（關於朗道 - 西格爾零點猜想）的研究，不過彼時，該研究還存在一些“瑕疵”。時隔 15 年後，張益平再次上傳有關朗道 - 西格爾零點猜想的論文。

對於這篇最新的研究論文， 英國數學家、牛津大學數學研究所退休教授 Roger Heath-Brown FRS 表示，“好好研讀這篇論文需要很長時間，所以我現在還不能說它是否正確。但它寫得很清楚，而且策略明智。”

有數論學者對澎湃新聞表示，“新論文尚未完整證明朗道 - 西格爾零點不存在，所以張益唐現階段並沒有完整解決朗道 - 西格爾零點猜想。同時，從張益唐的論文來看，其當前研究路線很可能無法最終解決朗道 - 西格爾零點猜想。”該數論學者認為，雖然這個結果證明不了朗道 - 西格爾零點猜想，但其“強度”已經足以在極大範圍上排除西格爾零點。這種範圍對於解析數論學者來說，足夠將其應用到數論問題中，並得到大量有意義的結論。

該數論學者進一步解釋道，以往的很多論文，要假設朗道 - 西格爾零點猜想成立（即假設西格爾零點不存在）；張益唐的新論文雖然沒有排除掉西格爾零點存在的可能性，但其排除掉的範圍足夠涵蓋很多以往論文所需的範圍。這使得以前的很多結果從假設性結果變成了確定性結果。

此外，該數論學者表示，論文從 2007 年版的 54 頁擴到現在 2022 年版的 111 頁，審稿會是一個大工作。“像這種論文，即使是頂尖的專業人士，把論文全部細節推一遍也得幾個月，所以很難很快下定論。”

參考連結：

https：//www。thepaper。cn/newsDetail_forward_20631242

https：//mp。weixin。qq。com/s/bRhgtg1gVTYsi7HLu5NtuQ

https：//mp。weixin。qq。com/s/AuRZOk_yx_dJC2pys9bUMg