解數學題也可以如遊戲般快樂。

撰文 | 小葉

最小公倍數是什麼？也許不需要複雜的數學公式，透過一個簡單遊戲就能理解。規則如下：每過24秒拍一下手，每過45秒跳一下，那麼到第幾秒既拍手又跳躍呢？下面影片中提供的遊戲不僅能讓人懂得最小公倍數的意義，還能學會計算方法【請前往“返樸”公眾號觀看】。

影片來源：

https：//www。youtube。com/watch？v=HdE5LRyomVY&t=197s

是的，解數學題可以如遊戲般歡樂。這段影片出自美國線上數學教育平臺“問題解決之道”（Art of Problem of Solving，以下簡稱AoPS）。而我們在影片中看到的那位手舞足蹈、語速飛快的老師正是該平臺創始人Richard Rusczyk。

時至今日，AoPS運營了整整18年，儼然成為了大批數學高手的“快樂老家”，活躍在網站論壇上的人們有著以下共同特點：從小在數學方面天賦異稟，痴迷數學，熱衷解決數學問題，渴望挑戰數學難題。而他們的領頭人Richard Rusczyk恰恰符合所有這些特徵。年少時，他曾致力於數學競賽，大學後建立過自己的數學競賽圈，職業道路幾經波折，最終仍然實現了一邊歡樂探索數學，一邊實踐數學教育的理想。

Richard Rusczyk出生在美國愛達荷福爾斯（Idaho Falls），從小跟隨作為核工程師的父親輾轉全美各地的學校。年幼的他熱愛籃球，還喜歡鑽研棒球統計資料，這恰恰是他走入數學天地的起點。到了七年級，他的母親給他報名參加美國初中生數學競賽MathCounts，結果表現非常出色，同時還結交到了不少數學同好。兩年之後，一家人定居至阿拉巴馬州，在那裡他再次參加MathCounts，最終獲得全國總決賽第24名的好成績。

自此之後，Rusczyk成為高中數學競賽隊的明星，不僅和團隊一起參加美國東南地區的各項賽事，還以個人身份參加美國數學學會舉辦的一系列全國競賽American Mathematics Competitions。他的競賽之路一帆風順，家中的書架上擺滿了參賽緞帶和獎盃。他本人也親口承認“就是喜歡收集數學獎盃。”除了獎盃這一收穫之外，數學競賽也讓Rusczyk接觸到了學校常規課本之外的數學領域，沉迷於解題的樂趣。

1987年，當時已是高二的Rusczyk受邀參加美國數學奧林匹克集訓營。這個夏令營每年夏天在西點軍校或海軍學院舉辦（如今由卡內基梅隆大學（Carnegie Mellon University）統一舉辦），為期一個月的封閉式訓練，以選出最優秀的學生組成國家隊，代表美國參加每年七月的國際數學奧林匹克競賽（International Mathematic Olympiad，以下簡稱IMO）。

自認為數學天賦滿點的Rusczyk躊躇滿志地踏入西點軍校，準備大幹一場。然而，也就是這次集訓營，讓他第一次在自己最擅長的領域品嚐到了深深的挫敗感，也意識到自己對數學的認識多麼侷限。多年以後，他在AoPS官網上坦誠講述了自己的當年經歷：

“我在集訓營待了五週，經歷各種測試，做了60多道題。結果，一套題都沒解出來。我當時認為，其他同學做得比我好是因為他們知道的解題公式和技巧比我多。我自己有一張公示表，在我接受的數學教育認知裡，公式就是數學的一切。只要記下公式，就沒有解不開的題。直到集訓結束，我才發現，原來自己才是那個知道最多公式的人，有些同學甚至連公式表都沒有。“

[1]

正是這次痛苦的失敗經歷讓Rusczyk反思瞭解題技巧和數學題之間的關係。很多學生對數學的“糟糕”印象往往是：一週學會套路→考試用上套路→考完很快忘記。MOP的失敗讓他意識到，數學學習的過程並不是 “記住公式，解答為公式量身定做的題目”，實際上，真正成功的數學家知道如何靈活運用少量的公式去解答靈活多變的數學題。

領悟到這一點以後，Rusczyk逐漸轉變了對數學的態度。在高中最後一年，他開始自主研究一些數學證明，對數學概念有了更深刻的理解。此後，他還兩次參加集訓營，最後一次有幸成為替補隊員，不過最後因病遺憾地提前離隊，無緣IMO。不過，這並不妨礙他到高中畢業時，躋身全國數學最頂尖前八名高中生。

雖然Rusczyk始終沒能進入國家隊，但也帶來了意外收穫：集訓之餘的籃球活動讓他結交到了一眾數學摯友，包括同樣來自南方的Sam Vandervelde（獲1989年IMO銀牌），Jordan Ellenberg（獲1987、1989年IMO金牌，1988年IMO銀牌）和Sandor Lehoczky。在和他們的交往中，Rusczyk明白了自己和這幫數學天才之間的差異

：他的朋友們都是發自內心的，真正熱愛思考抽象的數學問題，而他喜歡數學，更多是出於競爭心理，或為了結識朋友

。

高中畢業後，Rusczyk進入數學系超強的普林斯頓大學。可能先前三出三進集訓營的失敗經歷耗盡了他對數學的熱情，Rusczyk覺得自己可能並沒有處理數學抽象理論的創造力，此外，他還懷疑自己是否有耐心將一生奉獻給數學研究——因此，他選擇了化學工程專業。

在有機化學課上，Rusczyk觀察到，學生基本分為兩派，一派學得很開心，一派學得很痛苦。開心派相信，有機化學的大部分內容都可以從極少數的基本原則中推匯出來，做到化繁為簡；而更多的學生則將每個知識點都視為需要記憶的新內容，越學越多，越多越記不住，深陷知識點的“泥潭”而痛苦不堪。無疑，前者

將數學學習中的解題能力遷移到了化學學習上

，後者則不管走到哪裡，都反覆不斷地使用死記硬背的方法。

當然，學業之餘，Rusczyk也沒有徹底告別數學競賽。獨樂樂不如眾樂樂，他和集訓營的小夥伴們到處發郵件，邀請高中生們參加他們組織的“曼德博競賽”（Mandelbrot Competition），以紀念分形理論之父本華·曼德博（Benoit Mandelbrot）。競賽結果讓他們意外發現一個問題：參賽選手們的得分普遍偏低，對他們來說題目太難了。但為什麼會這樣？Rusczyk和同在普林斯頓的Lehoczyk經過討論，得出結論：在美國，大部分中小學生除了接受基礎數學教育之外，並沒有很多機會接觸到更加複雜高深的數學知識，數學資源分配並不均勻，而且不同地區數學老師的教學質量也良莠不齊。對於年輕的數學愛好者，他們可能沒有聽說過什麼數學競賽，也不知道那些精英級的數學夏令營活動。而Rusczyk在集訓營碰到的許多天才選手，他們都有自己的小圈子，或跟隨優秀的大學數學老師學習，或在具有濃厚數學文化的特殊學校學習，有機會比許多其他同齡人更早接觸高等數學概念。

認識到這樣的差異，Rusczyk和Lehoczyk決定寫書，讓更多人——尤其是數學愛好者——有機會學到高階的數學知識，提高數學問題解決水平。經過一番努力，1993年，兩位大學生自費出版瞭如今頗有名氣的The Art of Problem Solving（《解題的藝術》），分為上下兩冊。這套書的教學物件是廣大中小學生，在序言中，Rusczyk直抒教材的真正目的，強調思維能力的重要性：

對學生來說，“這是一本方法論教材。如果你只是記下了上面所有的公式，你就錯過了真正的重點。培養創造性思考過程是解決數學問題的關鍵，學會解題背後的思維方式，所有數學公式將不言自明。如果遇到問題，不要緊張，找同學，找老師，找教材。不要輕易放棄！”

對老師來說，“無論如何使用這本教材來教學，關鍵是要讓學生理解為什麼數學公式能解開數學問題。只有這樣，他們才能全面理解公式的應用範圍以及數學之美。”

[2]

The Art of Problem Solving，2019最新版丨來源：Amazon

同年秋天，Rusczyk開始在斯坦福大學攻讀化工專業的博士學位，但很快就發現自己並不適合科研生活。開學後僅8周，Rusczyk就退學了，之後，他驅車拜訪當地中小學，一邊銷售自己的教材，一邊尋找數學老師的職位，最終受聘於一所小型私立小學。沒過多久，他又發現自己也不適合當一名常規的數學老師。雖然他熱愛教學，但要吸引本來就對數學不感興趣的學生，難度太大。與之相比，他更喜歡與熱愛數學的學生打交道，而銷售自己的The Art of Problem Solving能接觸到真正的數學愛好者。於是，第二年夏天，他離開了教師崗位，出發去尋找熱愛數學的人。

愛數學的大腦都在哪兒？上世紀90年代中期，華爾街是匯聚全國頂尖數學人才的寶地，Rusczyk自然也被吸引。他進入對沖基金D。E。Shaw工作，非常享受債券交易的快樂時光。不過，他的內心始終沒有放下建立自己事業的念頭。1998年金融危機之後，他辭去工作，這次卻不急於謀求新職位，而是和妻子Vanessa搬去了加州聖迭戈郊區定居。那裡有優美的森林環境，他們又養了三頭小毛驢，還變成了狂熱的徒步愛好者。與此同時，他重拾少年時代最重要的愛好：鑽研奧數競賽題。

1990年代末，網際網路熱潮掀起，Rusczyk開始嘗試製作一些線上教學課程，並思考事業發展的各種可行方案。2003年，31歲的Rusczyk沿用自己首套教材的名稱，正式創立artofproblemsolving。com網站（以下簡稱AoPS）。他建立了線上社群，在上面釋出各種數學競賽題，展開互動教學課程。區別於其他教育者，Rusczyk的教師經歷讓他明確了自己的教學物件，主要關注對數學興趣強烈、能力又出眾的學生。同時他早已看到，在現實生活中，即使能力相同，對數學抱有同樣熱情的學生，可能會因為人脈資源的多寡不同，彼此之間差距越拉越大，很是可惜。因此，Rusczyk以網站平臺為基礎，想方設法彌補不同學生之間的差異，讓他們都能公平地獲得相同的數學資源。

網路無國界，很快，世界各地的數學愛好者紛紛前來社群灌水，討論數學題、相互激勵，帖子裡到處是數學人獨特的俏皮話。華裔數學家趙宇飛就屬於最早的一批社群成員，他曾三次參加IMO，分別於2005、2006、2004年獲得金銀銅牌，如今已是麻省理工學院的數學教授。趙宇飛回憶自己上高中時，回家第一件事就是登陸Rusczyk的社群論壇，看看有沒有什麼新鮮話題。

與網站一同成長的還有Rusczyk的教學影片。最開始，Rusczyk釋出的免費影片內容主要是即興演說。本文開頭講述的數學遊戲即來自著名的《最小公倍數》（Least Common Multiple）。作為數學老師，Rusczyk出鏡時穿過各種顏色的T恤，但偶爾也會跳脫出正經形象，深色連帽衫、墨鏡，口中唸唸有詞，搖身一變為數學界的說唱家。其實，這一切的目的都在於

引導學生以實驗般大膽無畏的精神“遊戲”數學領域

。

除了遊戲精神外，Rusczyk還認為，學習數學有時候和學習樂器和體育運動一樣，天賦型選手越早開始訓練，日後所取得的成就也越多。因為對於貼上“數學天才”標籤的孩子們，人們往往有一種刻板印象，覺得他們似乎不需要努力，就能學好數學，所以“天才不用苦學”。其實不然，Rusczyk自己的求學經歷讓他時刻準備面對各種難題，天才也要努力才能更上一層樓，同樣，也會面臨失敗的打擊。這也反映了AoPS的另一重要理念：哪怕是數學天才般的學生，也要正常看待早期的苦學和失敗，跌倒和成長都沒有問題，絲毫不用避諱。

少年時代，Rusczyk曾在一場數學講座中聽到了“隨機遊走”問題（Random Walk Problem）：從某一點出發，每走出一步都是隨機的（例如透過拋硬幣決定前進方向）最終會走出一條蜿蜒路徑，經過一段時間之後，離起點的距離是多遠？匈牙利數學家George Polya假設一維簡單隨機遊走每一步向左和向右的機率均為0。5，證明了質點返回原點的機率為 1，也就是說，如果你不斷重複拋硬幣，經過許多許多步後，你走回起點的機率是100%。

後來，Rusczyk和Lehoczky經常在街頭玩“隨機遊走”，讓硬幣帶來意外之喜。而Rusczyk還有另一番感悟，他認為隨機遊走似乎隱喻了自己從小到大與數學忽遠忽近的關係。“最終，我確實回到了起點。”建立AoPS無疑是迴歸了自己熱衷解數學題的初心。

不過，Rusczyk從不認為AoPS僅僅是為了“教授數學”而創立的。他們走得更遠：“發現、鼓勵並培養下一代會解決問題的人。”在官網上，Rusczyk親自寫下了他心目中的解題理念：

“我們學習解數學題，是因為數學是最基礎的邏輯學科。數學不僅是科學的基石，也是一種最清晰的方法，用來學習和理解嚴謹的邏輯論證。數學語言極其精確：要麼對，要麼錯。……無可爭議，容不得半點主觀。”

[1]

至於解數學題的具體方法，Rusczyk總結出以下四個步驟：

1。

明確問題：

這是解決問題的第一步。如果都不知道解決的問題是什麼，就盲目開始，只會讓解決過程難上加難。

2。

制定計劃：

接下來就是制定解決計劃，可以運用哪些技巧，分析問題的特徵，收集相關資訊等，幫助自己在解決過程中做出正確的決定。一味橫衝直撞，往往四處碰壁。

3。

解決問題：

在前兩步的基礎上著手解決問題，行動大於想法，只要開始動手，無論好壞，總能有些成果。

4。

行動覆盤：

問題解決高手往往會在解決之後覆盤全過程。如果是數學問題，可以反過來思考一下答案是否合理。在回顧過程中，考察一下哪裡做對了，哪裡做錯了，儘量避免日後重複錯誤。

[1]

Rusczyk的問題解決四步法簡單樸素，不僅可用於解決數學問題，也適合處理工作或生活中遇到的其他問題。他的“問題解決之道”關鍵正在於此：一味死記硬背（數學公式也好，其他條條框框也好），只能解決眼前一道題。但學會數學的思維方式，可以解決更大範圍內的更多問題，解決手段也會更多樣化，更具創造力。

幾十年來，AoPS的成就受人矚目。從1995年到2004年，美國國家奧數隊整整20年沒有在IMO上得到過一個冠軍。但從2015年起，美國連續四年奪冠，成功因素當然有很多，例如數學強化專案，國家隊主教練羅博深（Po-Shen Loh）的指導，還有一部分功績便是AoPS。2015年美國國家隊的6名隊員都在不同時期參加過AoPS的線上課程，2016年蟬聯冠軍的美國隊隊員在培訓數學時也使用過AoPS的教材

[3]

。這樣的成就也間接圓滿了Rusczyk自己的IMO夢想。

如果要問Rusczyk最喜歡的工作是什麼？他的回答有點兒出乎意料：將一本本教科書送到真正喜愛數學、需要數學的學生手中，翻閱每一頁，他們都能學到新的數學知識，培養數學思維，建立並拓寬自己的“問題解決之道”。對Rusczyk來說，和一群對數學探索充滿激情的學生討論才最有真實感，大家心照不宣：“我們是書呆子，又怎樣？！這才是真正做自己！”

[4]

參考資料

［1］ https：//artofproblemsolving。com/wiki/index。php/Problem_solving

［2］ Sandor Lehoczky， Richard Rusczyk - The Art of Problem Solving， Vol。 1_ The Basics （2006， AoPS Incorporated）-compressed

［3］ http：//sdvoyager。com/interview/meet-richard-rusczyk-art-problem-solving-carmel-valley-rancho-bernardo/

［4］ https：//www。newyorker。com/culture/persons-of-interest/richard-rusczyks-worldwide-math-camp

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