最近，筆者的很多老同學、老朋友向筆者諮詢孩子求學選專業的問題。筆者一直在計算機系和數學系從事教學和科研工作，對此一直有自己的觀點：本科期間儘量多地學習基礎數學理論，研究生期間再根據志趣選擇計算機或者數學。這兩個方向具有迥然不同的價值觀念、知識結構和技能體系，更有不同的社會需求和職業道路。數學以追求自然真理為目的，具有強烈的美學價值和超越世俗的出世傾向。任何青少年，如果能夠領悟音樂的魅力，會自然而然地追求數學的境界。但是現實的障礙在於數學需要在求學關鍵時期遇到優秀的老師，融入到濃厚的數學文化氛圍之中，迅速建立抽象思維能力，領悟現代數學的思想和方法。計算機以實現演算法、改善物質世界為目的，具有強烈的的入世傾向。相對於數學，計算機的能力更加容易自學並且透過實踐進行修煉提高。計算機能力歸根到底是將思想轉化成演算法，到了高階階段之後，計算機能力的瓶頸在於基礎數學能力。與數學能力的培養相類似，計算機能力的培養也需要多年的實踐磨練。這樣就產生了一個矛盾，大學本科低年級應該偏重數學還是計算機？筆者傾向於數學，因為數學能力的智力開發更需要“童子功”，對於年齡要求更加嚴苛一些。計算機能力的培養可以推遲一些。
下面是筆者親身經歷的一個例子，這個例子可以解釋計算機和數學方向的異同，或許對於孩子的專業方向選擇有些參考作用。
近期元宇宙（metaverse）、數字孿生（digital twin）的概念持續升溫，虛幻引擎（Ureal 5）的Nanite虛擬幾何技術日益引發關注，3D技術似乎又一次回到時代舞臺中央。
圖0。 人臉曲面的拓撲四邊形網格（與封面，by Andor Kollar）。
在計算機中，3D曲面和實體的表達主要歸結為三角剖分和樣條表示，後者歸結為曲面的四邊形剖分和實體的六面體剖分。計算幾何體剖分的過程被稱為是網格生成。雖然現代的影視動漫、醫學影象、機械工業都是基於這些幾何表達，每天全世界數十萬、數百萬的工程技術人員都在處理這些幾何資料，但是網格生成依然是一門“藝術”，而非一門“技術”，其理論基礎遠未成熟。特別是在實體網格生成領域，三角剖分的主要演算法是基於Delaunay Refinement，其理論基礎是蓋爾方德的Secondary Polytope理論；實體六面體網格生成雖然有各種基於經驗的演算法，其基礎理論基本上是一片尚未開發的寶藏。
圖1。 斯坦福兔子曲面的四邊形網格剖分。
其實曲面四邊形網格生成的情況也是非常相近。無論是在動漫領域，還是在工業設計領域，網格生成都強烈依賴於大量的手工操作，無法自動生成。而手工生成高質量的四邊形網格，成為建模師的核心競爭力之一。
在1970年代，汽車工業剛剛興起，法國雷諾汽車的工程師貝塞爾發明了貝塞爾樣條曲面，成為3D技術的發軔。構造樣條曲面的前提是曲面的四邊形網格剖分。如圖1所示。每個面是一個四邊形，與每個頂點相連的邊數被稱為是頂點的度（degree）。度為4的頂點被稱為是正常點，反之被稱為奇異點。透過大量的手工實踐，工程技術人員很快認識到這一問題的複雜性。早在1973年，人們就提出了下面的開放問題（Open Problem）：
問題1：在虧格為1可定向的封閉曲面上（例如輪胎表面），可否構造一個四邊形網格，只有兩個奇異頂點，一個度為3，另一個度為5？
如圖2所示，小貓曲面的虧格為1，我們可以進行各種四邊形剖分，但是無論如何，我們無法得到只有兩個奇異點、度分別為3和5的四邊形網格。這個問題小學生都會理解，但是在長達半個世紀的時間裡，這一問題一直沒有令人滿意的回答。這再度驗證了愛因斯坦的名言：
我們無法在創造問題的意識維度上去解決問題，因為正是原有的意識創造了你當下的問題。當你需要解決問題時，必須來到一個新的意識維度。
圖2。 小貓模型的四邊形網格剖分。
首先，如果我們從拓撲角度考慮，假如問題1中的四邊形網格存在，它並不違背尤拉公式，因此無法從拓撲角度加以否認；如果我們從黎曼幾何角度考慮，假設每個四邊形都是標準單位正方形，這樣得到一個黎曼度量，由此誘導了頂點處的高斯曲率（測度），這一曲率測度滿足高斯-博納定理；用曲面Ricci流理論，我們的確可以證明滿足這樣曲率條件的黎曼度量的存在性。其實，這一問題的本質在於共形幾何。
我們的證明主要有兩大步驟：
如果問題1中的四邊形網格存在，則我們可以在曲面上構造一個亞純函式，只有一個極點和一個零點；
虧格為1可定向封閉曲面上，不存在亞純函式，只有一個極點和一個零點。
由此，用反證法，可以推出問題1中的四邊形網格實際上並不存在。
這裡第二步驟的證明比較初等，並且有兩種證明方法，第一種比較簡單，但是不容易推廣；第二種比較複雜，但是可以直接推廣到任意虧格的曲面。我們先討論第一種證明：假設問題中的曲面有一個黎曼度量，這樣曲面上任取一點，我們可以找到一個鄰域，和該鄰域的一個引數化，使得黎曼度量可以寫為：
這裡
被稱為是等溫座標。曲面的所有等溫座標卡構成了曲面的共形圖冊，因此曲面是一個黎曼面。從幾何上看，黎曼面上的一個亞純函式是從黎曼面到單位球面（看成是複平面加上
）的一個保角（全純）對映。全純對映都是保定向的分支覆蓋對映。如果亞純函式只有一個極點和零點，則分支覆蓋對映的度為一，即此全純對映將黎曼面包裹在單位球面上，並且只包裹了一層。由此，這一全純對映為微分同胚。但是，我們知道，虧格為一的曲面和虧格為零的曲面之間不存在同胚。假設錯誤，這樣的亞純函式並不存在。
第二種證明更加初等，但是比較通用。首先，根據曲面拓撲定理，虧格為1的封閉曲面
存在萬有覆蓋空間
，
是投影對映。由單值化定理，我們存在一個黎曼度量
使得曲面上的高斯曲率處處為
。
可以提升到萬有覆蓋空間上，使得
是歐氏平面。這時，曲面
為平環，可以表示為
這裡
是格
給定亞純函式
，我們構造一個對映，
，定義如下：對於球面上的任意一點
，
即
的所有原像之和在平環上的位置。由拓撲原理，曲面間的對映可以被提升為它們的萬有覆蓋空間之間的對映，即得到原來初始對映的一個“升騰”。球面
的萬有覆蓋空間就是其本身
，平環
的萬有覆蓋空間是複平面
，我們記升騰為
，滿足條件：我們知道，
將整個球面映到一個平環上，因此
的像是有界的。由複變函式中的劉維爾定理，定義在複平面上的有界全純函式必為常數。因此
為常值對映，
也為常值對映。這意味著
，如此得到平環上的Abel定理：在平環上，任意一個亞純函式的零點之和減去所有極點之和為零。如果只有一個零點和一個極點，則它們彼此重合。即一個點同時既是零點又是極點，矛盾。因此假設錯誤，單零點、極點的亞純函式不存在。
這個證明可以被推廣到任意虧格的黎曼面上，這時我們在黎曼面上找到一族全純微分的基底
，
為週期矩陣。我們定義
為Jacobi簇。任選基點
，對於任意一點
，任選一條連線基點的路徑
，計算積分
如此我們將點
映到
中的一點。應用上面同樣的證明如下的Abel定理：黎曼面
上的任意一個亞純函式，在Jacobi簇中，其零點之和減去極點之和等於零。而Abel-Jacobi理論正是曲面四邊形網格生成的理論基礎：四邊形網格的奇異點滿足Abel-Jaocbi條件。
現在，我們再來看第一步的證明，這一步的困難主要是概念上的，我們需要用到亞純微分的概念，而微分形式的概念是初學者必然遇到的一個難關。形式上，假定我們有一個四邊形網格，每個面都是平面標準單位正方形。我們用一個共形圖冊來覆蓋：每個面，邊和頂點都用一個區域性座標系來覆蓋，面和邊的區域性座標之間的變換為平面剛體變換，正常頂點區域性座標和相鄰的邊與面的區域性座標變換都是剛體變換。這裡的剛體變換涉及到旋轉
，
。如果一個頂點的度為
，則區域性座標變換涉及到分數冪次變換
。我們在每一個區域性座標卡上定義全純微分形式
。假如相鄰的面與邊的區域性座標變換滿足
，則
，我們看到
在剛體變換下不被保持，因此不是全域性定義的。但是我們有
。我們再考察奇異點的區域性座標，我們有
，如此
。這表明，
是全域性定義的亞純四次微分，四邊形網格度為
的奇異頂點是微分的極點，度為
的奇異頂點是微分的零點。在平環
上，亞純四次微分具有全域性表示
，這裡的
就是由四邊形網格所誘導的亞純函式。
從形式上看，這裡的證明非常直截了當，但是所用的概念遠非初等，真正的難點在於看出貌似初等的問題
本質上等價於Abel-Jacobi理論。這一點可以如下闡釋：在曲面的一個鄰域內建立四邊形網格是非常容易的，困難在於將區域性的網格拼接成整體的網格。這種從區域性到整體的困難，一般都用障礙類理論來描述，即某種叢的示性類。Abel-Jacobi理論的現代推廣就是黎曼面上全純線叢的示性類理論。
類似的問題可以推廣到實體的六面體網格生成領域。筆者傾向於認為，推廣問題必須用到深刻的3-流形拓撲理論。我們期待在不久的將來，年輕一代能夠將這一問題徹底解決。
從上面的例子，我們可以看出，雖然現代工業無時無刻不依賴於曲面四邊形網格生成的技術，但是工業界並沒有深究其理論基礎，實用主義一直佔據主流。而在學術領域，人們一直對於其基礎理論的不完善而耿耿於懷，並不滿足於短期的經濟利益，而是追求長久的文化價值。
雖然這一開放問題是被工程師所提出的，但是其最終的解決所需要的概念和方法完全超越目前大學中工程領域的知識體系。絕大多數的工程師應該都意識到這個基本問題，並且深入思考過。或者因為謀生的壓力，或者因為知識結構的問題，一直沒有真正將其解決。學術界有更多的時間用於深入的思考，可以不羈絆於謀生的壓力，當然也獲得更多的精神享受。
如果孩子具有更深層次的精神追求，更加註重思想的深度，獨立的學術品味，可以鼓勵向基礎科學方向發展。如果孩子更具雄心壯志透過實業改變世界，可以更加傾向計算機方向發展。現代社會，價值多元，各個領域都需要年輕人的才華和激情！