2021

全國中考落幕，接下來就是大家對題目的欣賞與討論，當然這裡也有爭議。而最近爭議比較多主題當屬中考題中有些題目需要用高中知識才能解決，或者是用高中知識瞬間秒得答案。最近有年輕教師問我，我們是否需要在初中就讓孩子學習一些高中的內容。看到這個問題其實很不好回答，如果需要學？學哪些？學多少？全部？那豈不等於把高中的知識全部放到初中來學習？

看來學習數學真的是太難了。

但是關於提前學習的爭論從來都沒有停止過。還記得小學學過的雞兔同籠嗎？初中畢業，沒有人認為這是難題，但是在小學覺得挺困難的，難點在於算術解法的思維的巧妙，需要學生有較高的思維能力。於是有老師乾脆直接上方程，思路看起來是簡單了，設為未知數，解方程，但是還需要學生對方程的理解更進一步，想要學得非常好，需要全部學習至少一元一次方程的全部內容，甚至還有老師直接幹到了二元一次方程組。當有學生在上課冒出設x，y的回答時，他並不知道二元一次方程的真正含義。包括初二學習二元一次方程的時候，大多是老師在第一節課也時草草收場，並沒有講清楚引入二元一次方程及方程組的意義，直接進入消元環節。

所以，我認為，

各個階段應該有各個階段的教任務，這個任務包括學習任務，思維任務。

應該近幾年開始，高考不再考一道平面幾何題，因為一般的平面幾何題，一上向量，都不是什麼問題。而平面幾何所承擔的培養學生的思維能力的任務，只能在中考來體現了。

所以，不能簡單的把能用高中方法解決的題目認為在中考中出現不合適，還要看用初中的方法有沒有思維含量，有沒有可用的探究方法。

我個人覺得，從思維來說

上得去是本事

下得來是能力

能用高一階思維解決問題的是自己的本事，但是能用當前思維解決的是能力，並不衝突。不能說學了方程，我們完全就應該拋棄算術的一些思維。不能說學了向量，學瞭解析幾何，我們平面幾何就題目就沒有意義。

首先我們來看一道今年應該爭議最大的一道題。

2021廣東省中考題 第10題（填空壓軸）

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真題再現1

簡單畫圖，如圖所示，∠AOB=90°，分析影象特徵，考慮一線三垂直相似。

△AOD相似於△EOB，由於點在函式上，AD：OE=OD：BE，而點在函式上，還有特殊的關係，AD=OD ，BE=OE ，化簡可得，OD·OE=1。這怎麼用呢？

自然而然想了這麼多，再看看題目要求什麼？C到y軸的最大值，OC⊥AB，在AB運動過程中，C也隨之動，但是不變的是與AB的垂直關係，這也是本題思維的一個切入點，能否判斷C運動的軌跡。初中階段的軌跡一般只有直線型和圓弧型，結合∠OCB=90°，猜想C運動軌跡是否是圓，如果是圓，則直角所對的線段應該是定線段，則能否求出定線段OM的長呢？如何求？結合剛才的圖形，考慮相似，如圖

延長AO交BE延長線於F，則△AOM相似於△ABF，在黃色△OBF中由射影定理或相似可得

OE =BE·EF，而BE=OE ，則EF=1（看到這個結論我高興了半天，EF也是定長）

根據相似或者平行線分線段成比例可得

則C點軌跡是直徑為OM的圓，最大距離為1/2。

■ 本題作為選擇壓軸題，考查的主要是相似的綜合性質，難點在於首先猜想軌跡，驗證定長，函式的主要作用是提供了相似三角形的線段之間的關係。本題的原型來源於如圖

但比原題，增加了C到y軸最大距離，這個最大距離，是一個幾何最值，幾何最值常見思路為點的軌跡問題，所以本題從軌跡猜想OM定長，利用相似求出定長，思路自然，並沒有強化首先從解析幾何的角度去認識拋物線內接直角三角形過定點，求解析式來證明。所以，本題的改編為思維提供了臺階，是一道不錯的壓軸題。

在很多壓軸題哪怕最後一道壓軸題中，拋物線的出現只是提供了一個座標點的框架而已，本題二次函式提供的是線段之間的數量關係，算是結合得不錯。

在探索研究過程中也可以從特殊情況入手，考慮兩個特殊直角三角形，求出OM的長，作為選擇填空壓軸，已經足夠了。所以，我們需要的是思考個解決問題的辦法。

更進一步研究，這其實這本質是上來說是一個拋物線截線的性質，關於其代數性質，在高中平面解析幾何中會應用聯立方程組，韋達定理加以解決，我們從幾個的角度加以研究看看：

（新洲中學張擴軍老師）

如圖，點A，B是拋物線y=ax 上的兩點，線段AB交y軸於C，則過A作AD交x軸於D，過B作BE交x軸於E，則以下結論是否成立？

（1）AD·BE=OC

（2）四邊形OEBC∽ 四邊形DOCA嗎？

（3）還有哪些結論？

證明過程歡迎大家一一探討和交流。廣東省第10題，由於AO與BO垂直導致的OC =1，是一種特殊情況。拋物線還有很多內在的幾何性質，相似，定值等等。這些性質都是基於拋物線提供的數量關係下存在的幾何圖形的性質，值得大家研究與探討。二次函式本來就是聯絡初中數學和高中數學的一個紐帶，不同階段可以從不同的角度去深入研究。

同樣，對於第16題

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真題再現2

也有朋友發文說到，如果利用高中的知識會更香：

其實不然，如圖

△BCE三邊已知，且根據題目資訊，面積易求得，根據等面積直接求出BF的長度，或者代換BF=BC·sin∠BCE，

於是可得9×4=4√10×5×sin∠BCE，從而得出答案。常規思路，考查了勾股定理，平行四邊形性質，三角形面積的計算。這樣也很香。

我就不一一舉例了。類似於旋轉45度，60度，夾角正切為定值等等，我們常規處理方式是構造特殊直角三角形，利用一線三等角構建相似，從而解決問題，難度並不大，但在高中，利用兩直線的夾角公式，甚至還用到二倍角，半形三角函式公式等等。個人覺得，這都不是問題，如果想要用好這些高中的知識，在初中階段，除了要學好初中的內容，還要花大量學好高中內容，既然花了這麼多時間學了高中的內容，用更高的眼光，視野，思維來解決問題，秒殺問題，也算是一種回報吧，所以，上得去是本事。

但中考命題的時候，初高中知識本來就有聯絡，很難割裂開來，任何時候，好的題目一定是用現有的知識能夠解決，涉及知識的多少決定題目的難度。如果加上今天第10題的思維方式，要猜想，驗證，探究證明，作為壓軸題，不過分。

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後記

回顧一道題：

2012年深圳中考第16題（填空壓軸題），筆者當年在監考，見到試題的第一瞬間就秒殺出來了，用的是托勒密定理。但這道題很多常規的思路也是很香的，大家練練？

（2012 深圳）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交於點O，連線OC，已知AC=5，OC=6√2，則另一直角邊BC的長為_____ 。

以下圖片為連結：

在這裡，我提供了5種解法，但我最喜歡的，不是托勒密定理這種，而是旋轉次數最多的這種，因為組成的圖形太美了。