特值法探索唯一公共點——2020年秋西陵區九年級數學期末第24題解析

拋物線與直線的交點個數問題，通常情況下是聯立方程，用一元二次方程根的判別式探索，然而將直線換成線段，難度陡增，需要考慮交點是否線上段上、哪個交點線上段上等，在拋物線含參的前提下，求交點座標往往會比較困難，不過當拋物線在運動過程中，總會有那麼幾個特殊位置，幾個特殊點，利用好它們，便能求出對應的引數的值，這個方法也稱特值法。

題目

如圖，在平面直角座標系中，O為座標原點，正方形ABCO的邊OA落在x軸上，OC落在y軸上，OA=OC=2，已知直線l：y=x+k。

（1）填空：B（___，___）；當直線l與正方形ABCO沒有交點時，k的取值範圍是：______________；

（2）當k=0時，已知拋物線L：y=a（x-m）+n（a<0）頂點P在直線l上，設拋物線與直線l的另一個交點為M，過M作MN∥x軸交拋物線於另一點N，若MN=2，求a的值；

（3）在（2）的條件下，拋物線L與邊AB所在直線交於點E。

①當點P向上運動的過程中，點E也隨之向上運動，求此時m的取值範圍，並寫出點E在最高位置時的座標；

②若拋物線L與線段OA只有一個公共點，求m的取值範圍。

解析：

（1）利用正方形的性質可得B（2，2），直線l與正方形沒有交點，藉助幾何直觀，直線l解析式是y=x+k，它可以看作是由直線y=x平移得到，向上平移至經過點C後，以及向下平移至經過點A後，與正方形ABCO再無交點，分別求出這兩個特殊位置的k值，2和-2，因此k>2或k<-2時，直線l與正方形ABCO沒有交點；

（2）k=0時，直線為y=x，拋物線給出的就是頂點式，因此可以直接寫出點P座標（m，n），根據點P在直線y=x上，可得m=n，消掉一個引數，P座標為（m，m），拋物線L解析式為y=a（x-m）+m，將它與直線y=x聯立，得：

a（x-m）+m=x

a（x-m）-（x-m）=0

（x-m）［a（x-m）-1］=0

可得兩個交點的橫座標分別是m和1/a+m，由於點P橫座標是m，因此點M的橫座標一定是1/a+m，對稱軸是x=m，所以過點M作MN∥x軸，另一點N一定和點M關於x=m軸對稱，而MN=2，故|1/a|=1，由a<0，所以a=-1；

（3）我們首先表示出點E的座標，將x=2代入拋物線L的解析式中，求出y=-（2-m）+m，將它配方：

-（2-m）+m=-m+5m-4

=-（m-5m）-4

=-（m-5m+25/4-25/4）-4

=-（m-5/2）+9/4

再來看①中的問題，當點P向上運動，點E也隨之向上運動，即點E的縱座標增大，從剛才配方的結果來看，當m≤5/2時符合要求，而當m=5/2時，縱座標恰好取最大值9/4，所以可求出此時點E（2，9/4）；

②由於P（m，m）是拋物線頂點且在直線l上，因此當它與原點重合時，是第一處特殊位置，如下圖：

點P繼續沿直線l向上移動，拋物線與線段OA有一個公共點，此時m=0；

直到拋物線經過點A，不妨將點A座標代入解析式，得：

0=-（2-m）+m

解得m的兩個值分別是1和4，當m=1時，拋物線L為y=-（x-1）+1，恰好拋物線右半部分經過A點，左半部分經過原點，如下圖：

而當m=4時，拋物線L為y=-（x-4）+4，恰好拋物線左半部分經過A點，如下圖：

綜上所述，這幾個特殊位置之間的範圍，即為所求，所以0≤m≤4，且m≠1。

解題反思

本題第2小題中，還存在另一種解題思路，由MN=2，以及對稱軸為x=m，可分別得到M、N點橫座標是m-1和m+1，但存在一處小疑惑，即你怎麼知道點M在點N的左側？需要進行一下推導，關於點M的描述，題目描述它是直線l與拋物線L的另一個交點，由於頂點P在直線l上，且從幾何直觀上直線l是經過一、三象限，因此判斷點M應該是直線l與拋物線L左半部分的公共點，從而點M在點N左側。

總體來看，此題難度適中，一般在秋季期末考試時，從人性化角度，命題難度不宜過高，至少讓全體學生和家長過個好年，尤其是目前這個特殊時期，從心理穩定因素考慮也應該控制好難度。